Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线yx m交 y轴的正半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，过点A的直线AF交x轴的负半轴于点F，∠AFO=45°．

（1）求∠FAB的度数；

（2）点 P是线段OB上一点，过点P作 PQ⊥OB交直线 FA于点Q，连接 BQ，取 BQ的中点C，连接AP、AC、CP，过点C作 CR⊥AP于点R，设 BQ的长为d，CR的长为h，求d与 h的函数关系式（不要求写出自变量h的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，过点 C 作 CE⊥OB于点E，CE交 AB于点D，连接 AE，∠AEC=2∠DAP，EP=2，作线段 CD 关于直线AB的对称线段DS，求直线PS与直线 AF的交点K的坐标．

Answer 1

【答案】（1）∠FAB=90°；（2）；（3）直线PS与直线AF的交点K(-2，6)．

【解析】

（1）通过直线AB的解析式可求出点A、B的坐标，可知是等腰直角三角形，再结合已知条件即可确定；

（2）根据已知条件证明CP=AC=QC=BC从而得出△ACP 是等腰直角三角形，在Rt△CRP中，利用sin∠CPR，推出，继而得出，得出答案；

（3）过点 A 作AH⊥CE 交 EC 的延长线于点 H，延长 CH 到点 G，使 HG=CH，连接AG，证明△AHC≌△CEP，设，得出EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4，再通过角的等量代换，得出∠EAG=∠G，从而有EG=EA=n+4，在Rt△AHE 中，通过勾股定理AE=HE+AH可求出n的值为6，从而得出直线AF的解析式y x 8 ，再求出直线

PS的解析式为 y=-x+4，求交点即可．

解：（1）如下图，y x m ，当x=0时，y=m

∴A（0，m），OA=m

当y=0时，0=-x+m，x=m，

∴B（m，0），OB=m

∴OA=OB

∴∠OAB=∠OBA=45°

∵∠AFO=45°，∠FAB+∠FBA+∠AFB=180°

∴∠FAB=90°

（2）如下图 ，∵CP、AC 分别是 Rt△QPB和 Rt△QAB 的斜边上的中线

∴CP= ，，

∴CP=AC=QC=BC

∴∠CAB=∠CBA

设∠CAB=∠CBA=α，∴∠CBP=45°+α

∴∠CPB=∠CBP=45°+α

∴∠PCB=180°-（∠CPB+∠CBP）=90°-2α

∵∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-2α

∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=180°-2α-（90°-2α）=90°

∵AC=CP

∴△ACP 是等腰直角三角形

∴∠CPA=∠CAP=45°

∵CR⊥AP，∴∠CRP=90°，在Rt△CRP中

sin∠CPR

∴

∵，

∴

即

（3）过点 A 作AH⊥CE 交 EC 的延长线于点 H，延长 CH 到点 G，使 HG=CH，连接AG

∴∠AHC=∠CEP=90°

∴∠HAC+∠HCA=∠PCE+∠HCA

∴∠HAC=∠PCE，∵AC=CP

∴△AHC≌△CEP

∴CH=PE=2，AH=CE，∴GH=CH=2，

∴EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4

设∠DAP=β，则∠AEG=2β

∴α+β=45°

∵∠EBD=∠EDB=∠HDA=∠HAD=45°

∴∠CAH=∠HAD-α=45°-α=β

∵AH 垂直平分 GC

∴AG=AC

∴∠GAH=∠CAH=β

∴∠G=90°-β 在△EAG 中

∠EAG=180°-∠G-∠AEG

=180°-（90°-β）-2β =90°-β

∴∠EAG=∠G

∴EG=EA=n+4

在 Rt△AHE 中，AE=HE+AH

（舍）

∴AH=OE=6，EP=EB=2

∴OB=OE+BE=8

∴m=8，∴A（0，8）

∴OA=OF=8 ， ∴F（-8，0）

∴直线 AF 的解析式为 y x 8

∵CD=CE-DE=CE-BE=6-2=4

∵线段 CD 关于直线 AB 的对称线段 DS

∴SD=CD=4，∠CDA=∠SDA=45°

∴∠CDS=90°，

∴SD∥x 轴

过点 S 分别作 SM⊥x 轴于点 M，SN⊥y 轴于点 N

∴四边形 OMSN、SMED 都是矩形

∴OM=SN=OE-ME=2，ON=SM=DE=BE=2

∴S(2，2)

∵OP=OE-EP=6-2=4，∴P(4，0)

设直线 PS 的解析式为 y=ax+b

∴，解得：

∴直线 PS的解析式为 y=-x+4

设直线PS与直线AF的交点K(x，y)

∴解得

∴直线PS与直线AF的交点K(-2，6)．