操作:“如图1.P是平面直角坐标系中一点.过点P作PC⊥x轴于点C.点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q．我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换．经过T变换后得到的点Q的坐标为(a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$b.$\frac{1}{2}$b),若点M经过T变换后得到点N.则点M的坐标为．(2)A是函数y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x图象上异于原点O的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

19．操作：“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作PC⊥x轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q．”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换．

（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为（a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，$\frac{1}{2}$b）；若点M经过T变换后得到点N（6，-$\sqrt{3}$），则点M的坐标为（9，-2$\sqrt{3}$）．
（2）A是函数y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B．
①求经过点O，点B的直线的函数表达式；
②如图2，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．

分析（1）连接CQ可知△PCQ为等边三角形，过Q作QD⊥PC，利用等边三角形的性质可求得CD和QD的长，则可求得Q点坐标；设出M点的坐标，利用P、Q坐标之间的关系可得到点M的方程，可求得M点的坐标；
（2）①可设A（t，$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），利用T变换可求得B点坐标，利用待定系数示可求得直线OB的函数表达式；
②方法1、由待定系数示可求得直线AB的解析式，可求得D点坐标，则可求得AB、AD的长，可求得△OAB的面积与△OAD的面积之比．
方法2、先确定出△BOD比△OAD（B与A横坐标绝对值的比更简单）得出面积关系，即可得出结论．

解答解：
（1）如图1，连接CQ，过Q作QD⊥PC于点D，

由旋转的性质可得PC=PQ，且∠CPQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∵P（a，b），
∴OC=a，PC=b，
∴CD=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$b，DQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
∴Q（a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，$\frac{1}{2}$b）；
设M（x，y），则N点坐标为（x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$y，$\frac{1}{2}$y），
∵N（6，-$\sqrt{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=6}\\{\frac{1}{2}y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴M（9，-2$\sqrt{3}$）；
故答案为：（a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，$\frac{1}{2}$b）；（9，-2$\sqrt{3}$）；
（2）①∵A是函数y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x图象上异于原点O的任意一点，
∴可设A（t，$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），
∴t+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{7}{4}$t，$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t，
∴B（$\frac{7}{4}$t，$\frac{\sqrt{3}}{4}$t），
设直线OB的函数表达式为y=kx，则$\frac{7}{4}$tk=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{7}$，
∴直线OB的函数表达式为y=$\frac{\sqrt{3}}{7}$x；
②方法1、设直线AB解析式为y=k′x+b，
把A、B坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{tk′+b=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{\frac{7}{4}tk′+b=\frac{\sqrt{3}}{4}t}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k′=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{5\sqrt{3}}{6}t}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{6}$t，
∴D（0，$\frac{5\sqrt{3}}{6}$t），且A（t，$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），B（$\frac{7}{4}$t，$\frac{\sqrt{3}}{4}$t），
∴AB=$\sqrt{（\frac{7}{4}t-t）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}t-\frac{\sqrt{3}}{2}t）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|t|，AD=$\sqrt{{t}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}t-\frac{5\sqrt{3}}{6}t）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|t|，
∴$\frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△OAD}}$=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}|t|}{\frac{2\sqrt{3}}{3}|t|}$=$\frac{3}{4}$．

方法2、由（1）知，A（t，$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），B（$\frac{7}{4}$t，$\frac{\sqrt{3}}{4}$t），
∴$\frac{{S}_{△BOD}}{{S}_{△AOD}}=\frac{\frac{1}{2}OD×|{x}_{B}|}{\frac{1}{2}OD×|{x}_{A}|}$=$\frac{|{x}_{B}|}{|{x}_{A}|}$=$\frac{7}{4}$，
∵△AOB、△AOD和△BOD的边AB、AD和BD上的高相同，
∴$\frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△OAD}}$=$\frac{3}{4}$．

点评本题为一次函数的综合应用，涉及等边三角形的判定和性质、待定系数法、三角形的面积及方程思想等知识，理解题目中的T变换是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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