Question

19．如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是（　　）

• A． 2π
• B． $\sqrt{2}$π
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 如图，连接AC．首先证明∠EPF=135°，推出点P在与K为圆心的圆上，点P的运动轨迹是$\widehat{EPF}$，在⊙K上取一点M，连接ME、MF、EK、FK，则∠M=180°-∠EPF=45°，推出∠EKF=2∠M=90°，因为EF=4，所以KE=KF=2$\sqrt{2}$，根据弧长公式计算即可解决问题．

解答 解：如图，连接AC．

∵AOCB是正方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AFC=$\frac{1}{2}$∠AOC=45°，
∵EF是直径，
∴∠EAF=90°，
∴∠APF=∠AFP=45°，
∴∠EPF=135°，
∴点P在与K为圆心的圆上，点P的运动轨迹是$\widehat{EPF}$，
在⊙K上取一点M，连接ME、MF、EK、FK，则∠M=180°-∠EPF=45°，
∴∠EKF=2∠M=90°，
∵EF=4，
∴KE=KF=2$\sqrt{2}$，
∴P运动的路径长=$\frac{90π•2\sqrt{2}}{180}$=$\sqrt{2}$π，
故选B．

点评 本题考查轨迹、正方形的性质、旋转变换、圆的有关知识、弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找点P的运动轨迹，属于中考常考题型．