Question

19、已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD．
求证：（1）AE=AF；（2）△AEF为等边三角形．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的四条边都相等，对角相等，可得AB=CB=CD=AD，∠B=∠D，又由BE=DF，易得△ABE≌△ADF，即可得AE=AF；
（2）根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC=AD，即可得AB=AD=BC=CD=AC，易得∠B=60°，即可得∠ACD=120°，所以∠EAF=60°，所以△AEF为等边三角形．

解答：证明：
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB=CD=AD，∠B=∠D，
∵BE=DF
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF；

（2）连接AC，
∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD．
∴AB=AC=AD，
∴AB=AD=BC=CD=AC，
∴∠B=60°，
∴∠ACD=120°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF为等边三角形．（8分）

点评：此题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等，对角相等．还考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，解题时要细心．要注意数形结合思想的应用．