【题目】综合与实践:(1)如图,已知:在等腰直角中,,,直线经过点,直线,直线,垂足分别为点、.小明观察图形特征后猜想线段、和之间存在的数量关系,请你判断他的猜想是否正确,并说明理由.
(2)如图,将(1)中的条件改为:为等边三角形,、、三点都在直线上,并且有,请问结论是否成立?并说明理由.
(3)如图,若将(1)中的三角形变形为一般的等腰三角形,中,,,其中为任意锐角或钝角,、、三点都在直线上.问:满足什么条件时,结论仍成立?直接写出条件即可.
【答案】(1)小明的猜想是正确的,理由见解析;(2)仍成立,理由见解析;(3)当时,结论成立
【解析】
(1)根据BD⊥直线m,CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°,而∠BAC=90°,根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA,则AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE;
(2)利用∠BDA=∠BAC=α,则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,得出∠CAE=∠ABD,进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案.
(3)如图3中,结论:当∠ADB=∠BAC=∠AEC时,DE=BD+EC.证明方法类似(2).
解:(1)小明的猜想是正确的.
理由:如图1,
直线,直线,
,
,
,
,
在和中,
,
,
,,
;
(2)结论仍成立;
理由:如图2,
为等边三角形
、
,
在和中,
,
,,
.
(3)当时,结论DE=BD+EC仍成立.
理由:∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,
∴∠CAE=∠ABD,
∵在△ADB和△CEA中,
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
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【题目】如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10,若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB.
(1)求点P与点P′之间的距离;
(2)求∠APB的大小.
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【题目】如图,两幢楼高AB=CD=30m,两楼间的距离AC=24m,当太阳光线与水平线的夹角为30°时,求甲楼投在乙楼上的影子的高度.(结果精确到0.01,≈1.732,≈1.414)
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【题目】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,甲车匀速前往B地,到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地;乙车匀速前往A地,设甲、乙两车距A地的路程为y(千米),甲车行驶的时间为x(时),y与x之间的函数图象如图所示
(1)求甲车从A地到达B地的行驶时间;
(2)求甲车返回时y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)求乙车到达A地时甲车距A地的路程.
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,若点P从点A出发,以每秒1cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动,设运动时间为t(t>0)秒.
(1)AC= cm;
(2)若点P恰好在AB的垂直平分线上,求此时t的值;
(3)在运动过程中,当t为何值时,△ACP是以AC为腰的等腰三角形(直接写出结果)?
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【题目】甲乙两人在玩转盘游戏时,把转盘A、B分别分成4等份、3等份,并在每一份内标上数字,如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后,指针必须指到某一数字,否则重转.
(1)请用树状图或列表法列出所有可能的结果;
(2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6=0的解时,则甲获胜;若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6=0的解时,则乙获胜,问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线AB与函数y=(x>0)的图象交于点A(m,2),B(2,n).过点A作AC平行于x轴交y轴于点C,在y轴负半轴上取一点D,使OD=OC,且△ACD的面积是6,连接BC.
(1)求m,k,n的值;
(2)求△ABC的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,A点的坐标为(1,0).以OA为边在x轴上方画一个正方形OABC.以原点O为圆心,正方形的对角线OB长为半径画弧,与x轴正半轴交于点D.
(1)点D的坐标是 ;
(2)点P(x,y),其中x,y满足2x-y=-4.
①若点P在第三象限,且△OPD的面积为3,求点P的坐标;
②若点P在第二象限,判断点E(+1,0)是否在线段OD上,并说明理由.
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