Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC= 90°，D是边AC上的一点，AB= AD，连接BD， E是BC上的一点，以BE为直径的⊙0经过点D.

(1)求证: AC是⊙O的切线:

(2)若∠A=60°，⊙O的半径为2，求CE长

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2．

【解析】

（1）由OD=OB得∠1=∠ODB，则根据三角形外角性质得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，所以∠DOC=∠A，由于∠A+∠C=90°，所以∠DOC+∠C=90°，则可根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；

（2）由∠A=60°得到∠C=30°，∠DOC=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=2OD=4，在Rt△ABC中，根据AB=BCtan30°计算即可.

（1）连接OD，

∵OD=OB，

∴∠1=∠ODB，

∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，

而∠A=2∠1，

∴∠DOC=∠A，

∵∠A+∠C=90°，

∴∠DOC+∠C=90°，

∴OD⊥DC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）∵∠A=60°，

∴∠C=30°，∠DOC=60°，

在Rt△DOC中，OD=2，

∴OC=2OD=4，BC=OB+OC=6，

在Rt△ABC中，AB=BCtan30°=2．