Question

12．如图，直线y₁=2x-1与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$的图象交于A，B两点，与x轴交于C点，已知点A的坐标为（-1，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据函数图象可知，当y₁＞y₂时，则x的取值范围是x＞$\frac{3}{2}$或-1＜x＜0；
（3）若P是x轴上一点，且满足△PAC的面积是6，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入y=2x-1求出m，再把A的坐标代入y₂=$\frac{k}{x}$即可求出函数的解析式；
（2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案；
（3）求出C的坐标，设点P的坐标为（x，0），则PC=|x-$\frac{1}{2}$|，根据△PAC的面积是6和A点坐标代入即可求出答案．

解答 解：（1）∵点 A（-1，m）在直线y=2x-1上，
∴m=2×（-1）-1=-3，
∴点A的坐标为（-1，-3），
∵点A在函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=-1×（-3）=3，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{3}{x}$；

（2）从图象可知：当函数值y₁＞y₂时自变量x的取值范围x＞$\frac{3}{2}$或-1＜x＜0，
故答案为：x＞$\frac{3}{2}$或-1＜x＜0；

（3）∵直线y=2x-1与x轴交于C点，
∴当y=0时，x=$\frac{1}{2}$，即C点的坐标为（$\frac{1}{2}$，0），
设点P的坐标为（x，0），则PC=|x-$\frac{1}{2}$|，
∵△PAC的面积是6，A（-1，-3），
∴$\frac{1}{2}$×|x-$\frac{1}{2}$|×3=6，
∴|x-$\frac{1}{2}$|=4，
∴x-$\frac{1}{2}$=4或x-$\frac{1}{2}$=-4，
解得x=$\frac{9}{2}$或x=-$\frac{7}{2}$，
∴点P的坐标为（-$\frac{7}{2}$，0）或（$\frac{9}{2}$，0）．

点评 本题考查了反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想，题目比较好．