Question

【题目】如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧），点 的坐标为 ，与 轴交于点 ，作直线 ．动点 在 轴上运动，过点 作 轴，交抛物线于点 ，交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线 的解析式；
（Ⅱ）当点 在线段 上运动时，求线段 的最大值；
（Ⅲ）当以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出 的值．

Answer 1

【答案】解：（I）∵抛物线过A、C两点，

∴代入抛物线解析式可得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，

令y=0可得，﹣x2+2x+3=0，解x1=﹣1，x2=3，

∵B点在A点右侧，

∴B点坐标为（3，0），

设直线BC解析式为y=kx+s，

把B、C坐标代入可得 ，解得 ，

∴直线BC解析式为y=﹣x+3；

（Ⅱ）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，

∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，- m+3），

∵P在线段OB上运动，

∴M点在N点上方，

∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣ ）2+ ，

∴当m= 时，MN有最大值，MN的最大值为 ；

（Ⅲ）∵PM⊥x轴，

∴MN∥OC，

当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN，

当点P在线段OB上时，则有MN=﹣m2+3m，

∴﹣m2+3m=3，此方程无实数根，

当点P不在线段OB上时，则有MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，

∴m2﹣3m=3，解得m= 或m= ，

综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为 或

【解析】（Ⅰ）利用待定系数法可求出抛物线的解析式和直线BC解析式；
（Ⅱ）点P的横坐标为m，根据题意可用m表示出M、N的坐标，从而得出MN与m的函数关系式，再化成顶点式可求其最值；
（Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN，且OC∥MN，可得MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，即m2﹣3m=3，从而求出m的值.