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    14．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．

    （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD⊥CF．BD=CF．
    （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，第（1）问结论还成立吗？并说明理由．
    （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
    ①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．
    ②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．

    分析 （1）设法证明△BAD≌△CAF与∠FCD=90°即可；
    （2）与（1）同法；
    （3）中的①与（1）相同，可证明BD=CF，又点D、B、C共线，故：CD=BC+CF；
    ②由（1）猜想并证明BD⊥CF，从而可知△FCD为直角三角形，再由正方形的对角线的性质判定△AOC三边的特点，再进一步判定其形状．

    解答 （1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
    ∴∠ABC=∠ACB=45°，
    ∵四边形ADEF是正方形，
    ∴AD=AF，∠DAF=90°，
    ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
    ∴∠BAD=∠CAF，
    在△BAD和△CAF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
    ∴△BAD≌△CAF（SAS），
    ∴BD=CF，∠ACF=∠ABD=45°，
    ∴∠ACF+∠ACB=90°，
    ∴BD⊥CF；
    （2）（1）的结论仍然成立，理由：
    ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，
    ∠CAF=∠DAF+∠CAD=90°+∠CAD，
    ∴∠BAD=∠CAF，
     在△BAD和△CAF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$
    ∴△BAD≌△CAF（SAS），
    ∴BD=CF，∠ACF=∠ABD=45°
    ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°
    ∴BD⊥CF．
    （3）①BC、CD与CF的关系：CD=BC+CF
    理由：与（1）同法可证△BAD≌△CAF，从而可得：
      BD=CF，
     即：CD=BC+CF
     ②△AOC是等腰三角形
     理由：与（1）同法可证△BAD≌△CAF，可得：∠DBA=∠FCA，
    又∵∠BAC=90°，AB=AC，
    ∴∠ABC=∠ACB=45°，
      则∠ABD=180°-45°=135°，
    ∴∠ABD=∠FCA=135°
    ∴∠DCF=135°-45°=90°
    ∴△FCD为直角三角形．
     又∵四边形ADEF是正方形，对角线AE与DF相交于点O，
    ∴OC=$\frac{1}{2}$DF，
    ∴OC=OA
    ∴△AOC是等腰三角形．

    点评 本题考查了等腰三角形、正方形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，一般情况下，要证明两条线段相等，就得证明这两条线段所在的两个三角形全等，关键是掌握图形特点挖掘题目所隐含的条件．

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    （2）如图2：当点F为AE中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD，MN 与BD交于点G，连接BF，此时有结论：BF=FG，请利用图2做出证明．
    （3）如图3：当点E为直线BC上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线MN分别交直线AB、CD于点M、N，请你直接写出线段AE与MN之间的数量关系、线段BF与FG之间的数量关系．

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