Question

9．如图，在△ABC中，AC=BC，∠BAC=30°，D是EF的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BE，与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．
（1）求证：AF=CE；
（2）若BC=2CE，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论；
（3）若C为BE的中点，求证：EF⊥AC．

Answer 1

分析 （1）根据AAS判断出△ADF≌△CDE，即可得出结论；
（2）先判定四边形AFCE是平行四边形，再利用等边三角形的性质及（1）中的结论证明AC=EF，继而可得出四边形AFCE是矩形；
（3）先判定△ACE是等边三角形，再判断四边形AFCE是菱形，继而可得出结论．

解答 （1）证明：∵AF∥BE，
∴∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED，
在△ADF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠ECD}\\{∠AFD=∠CED}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴AF=CE；

（2）四边形AFCE是矩形．
证明：∵AF∥BE，AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AD=DC，ED=DF，
∵AC=BC，
∴∠BAC=∠B=30°，
∴∠ACE=60°，
∵CE=$\frac{1}{2}$BC，CD=$\frac{1}{2}$AC，
∴CE=CD，
∴△DCE为等边三角形，
∴CD=ED，
∴AC=EF，
∴四边形AFCE是矩形；

（3）证明：∵CE=BC，BC=AC，
∴CE=AC，
∵∠ACE=60°，
∴△ACE为等边三角形，
∴CE=AE，
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形，
∴EF⊥AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的性质、矩形的判定及菱形的判定等，解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．