【题目】已知:二次函数y=ax2+2ax﹣4(a≠0)的图象与x轴交于点A,B(A点在B点的左侧),与y轴交于点C,△ABC的面积为12.
(1)求二次函数图象的对称轴与它的解析式;
(2)点D在y轴上,当以A、O、D为顶点的三角形与△BOC相似时,求点D的坐标;
(3)点D的坐标为(﹣2,1),点P在二次函数图象上,∠ADP为锐角,且tan∠ADP=2,求点P的横坐标.
【答案】(1)y=x2+x﹣4;(2)点D的坐标为(0,2)或(0,﹣2)或(0,8)或(0,﹣8);(3)P点的横坐标为﹣2或.
【解析】分析:根据对称轴坐标公式可求二次函数图象的对称轴;当x=0时,y=4,可求点C的坐标为(0,4),,根据三角形面积公式可求进一步得到A点和B点的坐标分别为(4,0),(2,0).待定系数法可求二次函数的解析式.
则分和两种情况讨论即可.
过D作轴于F,分两种情况:①当点P在直线AD的下方时,②当点P在直线AD的上方时.分别求解.
详解:(1)该二次函数的对称轴是:直线
当x=0时,y=4,
∴点C的坐标为(0,4),
∴
连接
∵
又∵点A,B关于直线x=1对称,
∴A点和B点的坐标分别为(4,0),(2,0).
∴4a+4a4=0,解得
∴所求二次函数的解析式为
(2)如图1,∵
且
分两种情况:
①当时,
∴
即或
②当时,
∴
即或
综上所述,点D的坐标为或或或;
(3)如图2,过D作轴于F,分两种情况:
①当点P在直线AD的下方时,如图所示:
由(1)得点A(4,0),点D(2,1),
∴DF=1,AF=2.
在Rt△ADF中,得
延长DF与抛物线交于点,则点为所求,
∴点的坐标为(2,4).
②当点P在直线AD的上方时,延长P1A至点G使得AG=AP1,连接DG,作GH⊥x轴于点H,如图所示.
可证△GHA≌△P1FA.
∴HA=AF,GH=P1F,GA=P1A.
又∵A(4,0),P1(2,4),
∴点G的坐标是(6,4).
易得DG的解析式为:
在中,
∴
∴
∴
∴
∴
∴
设DG与抛物线的交点为P2,则P2点为所求,设
代入DG的解析式中,
解得
∵P2 点在第二象限,
∴P2点的横坐标为(舍正)
综上,P点的横坐标为或.
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【题目】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线 AC、BD交于点 M,点E在边BC上,且∠DAE=∠DCB,联结AE,AE与BD交于点F.
(1)求证:;
(2)连接DE,如果BF=3FM,求证:四边形ABED是平行四边形.
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【题目】如图,OB为∠AOC内一条射线,∠AOB的余角是它自身的两倍.
(1)求∠AOB的度数;
(2)射线OE从OA开始,在∠AOB内以1°/s的速度绕着O点逆时针方向旋转,转到OB停止,同时射线OF在∠BOC内从OB开始以3°/s的速度绕O点逆时针方向旋转转到OC停止,设运动时间为t秒.
①若OE,OF运动的任一时刻,均有∠COF=3∠BOE,求∠AOC的度数;
②OP为∠AOC内任一射线,在①的条件下,当t=10时,以OP为边所有角的度数和的最小值为 .
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【题目】如图,用正方形是墩垒石梯,下图分别表示垒到一、二阶梯时的情况,那么照这样垒下去
一级 二级
①填出下表中未填的两空,观察规律。
阶梯级数 | 一级 | 二级 | 三级 | 四级 |
石墩块数 | 3 | 9 |
②到第n级阶梯时,共用正方体石墩_______________块(用n的代数式表示)
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【题目】如图,二次函数y=―ax2+2ax+c(a>0)的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,过A的直线y=kx+2k(k≠0)与这个二次函数图象交于另一点F,与其对称轴交于点E,与y轴交于点D,且DE=EF.
(1)求A点坐标;
(2)若△BDF的面积为12,求此二次函数的表达式;
(3)设二次函数图象顶点为P,连接PF,PC,若∠CPF=2∠DAB,求此二次函数的表达式.
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【题目】为了了解某校学生的课外阅读情况,随机抽查了名学生周阅读用时数,结果如下表:
周阅读用时数(小时) | 4 | 5 | 8 | 12 |
学生人数(人) | 3 | 4 | 2 | 1 |
则关于这名学生周阅读所用时间,下列说法正确的是( )
A. 中位数是B. 众数是C. 平均数是D. 方差是
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作⊙O,交AB于D,过点O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求证:ED为⊙O的切线;
(2)如果⊙O的半径为,ED=2,延长EO交⊙O于F,连接DF、AF,求△ADF的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)首先连接OD,由OE∥AB,根据平行线与等腰三角形的性质,易证得≌ 即可得,则可证得为的切线;
(2)连接CD,根据直径所对的圆周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的长,又由OE∥AB,证得根据相似三角形的对应边成比例,即可求得的长,然后利用三角函数的知识,求得与的长,然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
试题解析:(1)证明:连接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切线;
(2)连接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直径,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面积为
【题型】解答题
【结束】
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【题目】【题目】已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
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【题目】(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:
如图1,在中,点在线段上,,,,,求的长.
经过社团成员讨论发现,过点作,交的延长线于点,通过构造就可以解决问题(如图.
请回答: , .
(2)请参考以上解决思路,解决问题:
如图3,在四边形中,对角线与相交于点,,,,,求的长.
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