已知:如图①,在Rt△ACB中,∠C=90º,AC=6cm,BC=8cm,点P由B出发沿BC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;点Q由A出发沿AB方向向点B匀速运动,速度为1cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<4),解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ的垂直平分线经过点B?
(2)如图②,连接CQ.设△PQC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)如图②,是否存在某一时刻t,使线段C Q恰好把四边形ACPQ的面积分成1:2的两部分?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.
(1)当t=时,PQ的垂直平分线经过点B;
(2);
(3)存在,当时,线段C Q恰好把四边形ACPQ的面积分成1:2的两部分.
解析试题分析:(1)用含有t的代数式表示PB和BQ,再根据线段垂直平分线上的点到线段两段点的距离相等即可;
(2)先证△BQH∽△BAC,再根据相似三角形的对应边成比例即可;
(3)分两种情况讨论:当S△AQC=2S△PQC时和当2S△AQC =S△PQC时,分别求出t的值.
试题解析:(1)在Rt△ABC中,AB=.
∵PQ的垂直平分线经过点B
∴PB=BQ
∵PB=2t,PQ=10-t,
∴2t=10-t
解得:t=
即:当t=时,PQ的垂直平分线经过点B;
(2) 如图①过点Q作QH⊥BC于H.
∵∠C=90°,
∴AC⊥BC,
∴QH∥AC,
∴△BQH∽△BAC,
∴,
∴,
∴,
∴.
(3)存在
如图②过点Q作QM⊥BC于M,QN⊥AC于N,
∵QM⊥BC于M,∠ACB=90°,
∴QM∥AC,
∴△BQM∽△BAC,
∴,
∴,
∴,
∵QN⊥AC于N,∠ACB=90°,
∴QN∥BC,
∴△AQN∽△ABC,
∴,
∴,
∴,
∵线段CQ恰好把四边形ACPQ的面积分成1:2的两部分,
∴S△AQC=2S△PQC或2S△AQC =S△PQC
当S△AQC=2S△PQC时,
∴
当2S△AQC =S△PQC时,
∴
综上可知:当时,线段C Q恰好把四边形ACPQ的面积分成1:2的两部分.
考点:三角形综合.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
(1)点A的坐标为 点B的坐标为 ,点C的坐标为 ;
(2)设抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标为M,求四边形ABMC的面积.
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已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)求点A、B、C、D的坐标,并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象;
(2)说出抛物线y=x2-2x-3可由抛物线y=x2如何平移得到?
(3)求四边形OCDB的面积.
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如图,直线AB交x轴于点B,交y轴于点A(0,4),直线DM⊥x轴正半轴于点M,交线段AB于点C,DM=6,连接DA,∠DAC=90°,AD:AB=1:2.
(1)求点D的坐标;
(2)求经过O、D、B三点的抛物线的函数关系式.
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某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查:在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具.
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x > 40),请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元,并把结果填写在表格中:
销售单价(元) | x |
销售量y(件) | |
销售玩具获得利润w(元) | |
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如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上两点,经过A、C、B的抛物线的一部分与经过点A、D、B的抛物线的一部分
组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,
),点M是抛物线
:
的顶点.
(1)求A、B两点的坐标.
(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得的面积最大?若存在,求出
面积的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当为直角三角形时,直接写出m的值.______
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如图,用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框,若窗框的宽为xm,窗户的透光面积为ym2(铝合金条的宽度不计).
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)如何安排窗框的长和宽,才能使得窗户的透光面积最大?并求出此时的最大面积.
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如图(1)是某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯.现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中,如图(2).
求(1)抛物线的解析式;
(2)两盏景观灯P1、P2之间的水平距离.
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已知:抛物线与x轴的两个交点分别为A(1,0)和B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)写出点C的坐标________,顶点D的坐标为__________;
(3)将直线CD沿y轴向下平移3个单位长度,求平移后直线m的解析式;
(4)在直线m上是否存在一点E,使得以点E、A、B、C为顶点的四边形是梯形,如果存在,请直接写出所有满足条件的E点的坐标__________________________________(不必写出过程).
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