Question

某公园有一圆弧形的拱桥，如图已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶D到水面AB的距离DC=4米．
（1）求水面宽度AB的大小；
（2）当水面上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，若cotα=3，求水面上升的高度．

Answer 1

【答案】分析：（1）设拱桥所在圆的圆心为O，由题意可知，点O在DC的延长线上，连接OA，在Rt△ADO中利用勾股定理求出AD的长，再由垂径定理求出AB=2AC即可得出答案；
（2）设OD与EF相交于点G，连接OE，由EF∥AB，OD⊥AB，可知OD⊥EF，∠EGC=∠EGO=90°，在Rt△EGC中，由cotα==3，可知EG=3CG，设水面上升的高度为x米，即DG=x，则CG=4-x，则EG=12-3x，在Rt△EGO中，利用勾股定理即可求出x的值，进而得出结论．
解答：解：（1）设拱桥所在圆的圆心为O，由题意可知，点O在DC的延长线上，连接OA，
∵OD⊥AB，
∴∠ADO=90°，
在Rt△ADO中，OA=10，OD=OC-DC=10-4=6，
∴AD=8，
∵OD⊥AB，OC是半径，
∴AB=2AD=16，
即水面宽度AB的长为16米．

（2）设OD与EF相交于点G，连接OE，
∵EF∥AB，OD⊥AB
∴OD⊥EF，
∴∠EGC=∠EGO=90°，
在Rt△EGC中，cotα==3，
∴EG=3CG，
设水面上升的高度为x米，即DG=x，则CG=4-x，
∴EG=12-3x
在Rt△EGO中，EG²+OG²=OE²，（12-3x）²+（6+x）²=10²，化简得 x²-6x+8=0
解得x₁=4（舍去），x₂=2，
答：水面上升的高度为2米．
点评：本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．