如图①.△ABC中.∠ABC=45°.AH⊥BC于点H.点D在AH上.且DH=CH.连结BD．(1)求证:BD=AC,(2)将△BHD绕点H旋转.得到△EHF.连接AE．①如图②.当点F落在AC上时..若BC=4.tanC=3.求AE的长,②如图③.当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时.设射线CF与AE相交于点G.连接GH.试探究线段GH与EF之间满足的等量� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

17．如图①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH=CH，连结BD．

（1）求证：BD=AC；
（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．
①如图②，当点F落在AC上时，（F不与C重合），若BC=4，tanC=3，求AE的长；
②如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．

分析（1）先判断出AH=BH，再判断出△BHD≌△AHC即可；
（2）①先根据tanC=3，求出AH=3，CH=1，然后根据△EHA∽△FHC，得到，HP=3AP，AE=2AP，最后用勾股定理即可；
②先判断出△AGQ∽△CHQ，得到$\frac{AQ}{GQ}=\frac{CQ}{HQ}$，然后判断出△AQC∽△GQH，用相似比即可．

解答解：（1）在Rt△AHB中，∠ABC=45°，
∴AH=BH，
在△BHD和△AHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=BH}\\{∠BHD=∠AHC=90°}\\{DH=CH}\end{array}\right.$，
∴△BHD≌△AHC，
∴BD=AC，
（2）①如图，

在Rt△AHC中，
∵tanC=3，
∴$\frac{AH}{CH}$=3，
设CH=x，
∴BH=AH=3x，
∵BC=4，
∴3x+x=4，
∴x=1，
∴AH=3，CH=1，
由旋转知，∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°，EH=AH=3，CH=DH=FH，
∴∠EHF+∠AHF=∠AHC+∠AHF，
∴∠EHA=∠FHC，$\frac{EH}{AH}=\frac{FH}{HC}=1$，
∴△EHA∽△FHC，
∴∠EAH=∠C，
∴tan∠EAH=tanC=3，
过点H作HP⊥AE，
∴HP=3AP，AE=2AP，
在Rt△AHP中，AP²+HP²=AH²，
∴AP²+（3AP）²=9，
∴AP=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴AE=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$；
②如图1，

∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，
∴HD=HF，∠AHF=30°
∴∠CHF=90°+30°=120°，
由①有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，
∴∠GAH=∠HCG=30°，
∴CG⊥AE，
∴点C，H，G，A四点共圆，
∴∠CGH=∠CAH，
设CG与AH交于点Q，
∵∠AQC=∠GQH，
∴△AQC∽△GQH，
∴$\frac{AC}{HG}=\frac{AQ}{GQ}=\frac{1}{sin30°}=2$，
∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，
∴EF=BD，
由（1）知，BD=AC，
∴EF=AC
∴$\frac{EF}{HG}=\frac{AC}{GH}=\frac{AQ}{GQ}$=$\frac{1}{sin30°}$=2．

点评此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数的意义，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是相似三角形性质和判定的运用．

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