Question

【题目】文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践，为了便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为2：1，文昌到三亚的火车票价格（部分）如下表所示：

运行区间	公布票价	学生票
上车站	下车站	一等座	二等座	二等座
文昌	三亚	81（元）	68（元）	51（元）

（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．
（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？

Answer 1

【答案】
（1）解：设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，依题意得： ，

解得 ，

则2m=20，

答：参加社会实践的老师、家长与学生分别有10人、20人、180人．

（2）解：解：由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，

①当180≤x＜210时，最经济的购票方案为：

学生都买学生票共180张，（x﹣180）名成年人买二等座火车票，（210﹣x）名成年人买一等座火车票．

∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y=51×180+68（x﹣180）+81（210﹣x），

即y=﹣13x+13950（180≤x＜210），

②当0＜x＜180时，最经济的购票方案为：

一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（210﹣x）张，

∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y=51x+81（210﹣x），

即y=﹣30x+17010（0＜x＜180），

答：购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式是y=﹣13x+13950（180≤x＜210）或y=﹣30x+17010（0＜x＜180）．

（3）解：由（2）小题知，当180≤x＜210时，y=﹣13x+13950，

∵﹣13＜0，y随x的增大而减小，

∴当x=209时，y的值最小，最小值为11233元，

当x=180时，y的值最大，最大值为11610元．

当0＜x＜180时，y=﹣30x+17010，

∵﹣30＜0，y随x的增大而减小，

∴当x=179时，y的值最小，最小值为11640元，

当x=1时，y的值最大，最大值为16980元．

所以可以判断按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元，

答：按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元．

【解析】（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，根据题意得到方程组 ，求出方程组的解即可；（2）有两种情况：①当180≤x＜210时，学生都买学生票共180张，（x﹣180）名成年人买二等座火车票，（210﹣x）名成年人买一等座火车票，得到解析式：y=51×180+68（x﹣180）+81（210﹣x），②当0＜x＜180时，一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（210﹣x）张，得到解析式是y=﹣30x+17010；（3）由（2）小题知，当180≤x＜210时，y=﹣13x+13950和当0＜x＜180时，y=﹣30x+17010，分别讨论即可．