Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50，点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC相交于E，此时Rt△AEP∽Rt△ABC，点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，EP:EM=12:13.
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A，C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.
 

Answer 1

（1）CM=26；（2）y=50-x，0<x<32

解析试题分析：（1）先根据已知条件得出AC的值，再根据CP⊥AB求出CP，从而得出CM的值；
（2）先根据sin∠EMP=，设出EP的值，从而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出，求出a的值，即可得出y关于x的函数关系式，并且能求出x的取值范围．
解： （1）∵∠ACB=90°，
∴，
∵CP⊥AB，
∴
∴，
∴CP=24，
∴；
（2）∵sin∠EMP=，
∴设EP=12a，则EM=13a，PM=5a，
∵EM=EN，
∴EN=13a，PN=5a，
∵△AEP∽△ABC，
∴，
∴，
∴x=16a，
∴，
∴BP=50-16a，
∴y=50-21a=50-21×=50-
∵当E点与A点重合时，x=0．当E点与C点重合时，x=32．
∴x的取值范围是：（0＜x＜32）.
考点：相似三角形的综合题
点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.