Question

3．如图，已知抛物线y=ax²-x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（-1，0），顶点为B，点C（5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；
（2）联结AB，求∠B的正切值；
（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△AGM与△ABE相似时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用待定系数法求抛物线解析式，进而求出点B，C坐标，求出直线BC解析式即可得出结论；
（2）先判断出△ABC是直角三角形，即可得出结论；
（3）先判断出∠CGM=∠B，再分两种情况建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-1}{2a}=1}\\{a+1+c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$；
∴顶点B（1，-2），点C（5，6），
∴直线BC的解析式为y=2x-4，
∵直线BC交x轴于点E，
∴E（2，0）；

（2）∵A（-2，0），B（1，2），C（5，6），
∴AB²=（-1-1）²+2²=8，AC²=（-1-5）²+6²=72，BC²=（5-1）²+（6+2）²=80，
∴AB²+AC²=BC²，
∴∠BAC=90°，
∴tan∠B=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=3；

（3）∵∠CAB=90°，
∴∠B+∠ACB=90°．
∵GM⊥BC，
∴∠CGM+∠ACB=90°．
∴∠CGM=∠B．
∵△CGM 与△ABE 相似，
∴∠BAE=∠CMG 或∠BAE=∠MCG．
如图2，过点B作BF⊥x轴于F，
∵B（1，2），
∴BF=2，F（1，0），
∵A（-1，0），
∴AF=2=BF，
∴∠BAE=∠CAM，
①如图1，当∠BAE=∠CMG 时，
∵∠BAE=45°，
∴∠CMG=45°．
∵GM⊥BC，
∴∠MCE=45°．
∴∠MCE=∠EAB．
∵∠AEB=∠CEM，
∴△ABE∽△CME．
∴$\frac{BE}{ME}=\frac{AE}{CE}$，
∵A（-1，0），E（2，0），B（1，2），C（5，6），
∴AE=3，CE=3$\sqrt{5}$，BE=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{ME}=\frac{3}{3\sqrt{5}}$，
∴ME=5，
∴M（7，0）；

②如图2，当∠BAE=∠MCG 时，
∵∠BAE=∠CAM，
∴∠MCG=∠CAM．
∴MC=MA．
设 M（x，0），
∵C（5，6），A（-1，0），
∴MC=$\sqrt{（x-5）^{2}+36}$，MA=x+1，
∴$\sqrt{（x-5）^{2}+36}$=x+1，
∴x=5，
∴M（5，0）．
即：满足条件的点M的坐标为（7，0）、（5，0）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理逆定理，锐角三角函数，相似三角形的性质，解（1）的关键是确定出抛物线解析式，解（2）的关键是判断出△ABC是直角三角形，解（3）的关键是判断出
∠CGM=∠B和∠BAE=∠CAM，是一道中等难度的中考常考题．