Question

如图所示，在直角梯形OABC，CB，OA，∠OAB=90°，点O为坐标原点，点A在x半轴上，对角线OB，AC相交于点M，OA=AB=4，OA=2CB．
（1）线段OB的长为

 

，点C的坐标为

 

；
（2）求△OCM的面积；
（3）求过O，A，C三点的抛物线的解析式；
（4）若点E在（3）的抛物线的对称轴上，点F为该抛物线上的点，且以A，O，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标．

Answer 1

分析：（1）易证得△OAB是等腰Rt△，已知了直角边的长，即可根据直角三角形的性质求出斜边OB的长；已知了OA=2BC，即可得到C点的横坐标，而B、C的纵坐标相同，由此可求出C点的坐标；
（2）易证得△BCM∽△OAM，且OA=2BC，根据相似三角形的对应边成比例可得AM=2CM；由此可证得△OAM的面积是△OCM的2倍，即△OCM的面积是△OAC的

1

3

，因此只需求出△OAC的面积即可；
（3）用待定系数法即可求出经过O、A、C三点的函数解析式；
（4）根据（3）得到的抛物线的解析式，即可求出其对称轴方程；若以A，O，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，应分成两种情况考虑：
①E点在x轴的下方，F在x轴的上方；此时四边形OFAE的对角线OA、EF互相平分，四边形OFAE是平行四边形，此时F与C点重合；
②E、F同时在x轴下方；此时四边形OAFE（或OAEF）以OA为边，根据平行四边形的对边互相平行且相等知：OA=EF，由此可求出F点的横坐标，将其代入抛物线的解析式中，即可求得F点的坐标．

解答：解：（1）在Rt△OAB中，OA=AB=4，所以△AOB是等腰直角三角形，
∴OB=

OA2+AB2

=

42+42

=4

2

，B（4，4）；
∵OA=2BC，则C点位于OA的垂直平分线上，
∴C（2，4）；

（2）在直角梯形OABC中，OA=AB=4，∠OAB=90°，
∵CB∥OA，
∴△OAM∽△BCM，（3分）
又∵OA=2BC，
∴AM=2CM，CM=

1

3

AC，（4分）
所以S_△OCM=

1

3

S_△OAC=

1

3

×

1

2

×4×4=

8

3

．（5分）
（注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分．）

（3）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
由抛物线的图象经过点O（0，0），A（4，0），C（2，4），
所以

c=0 16a+4b+c=0 4a+2b+c=4

，（6分）
解这个方程组得a=-1，b=4，c=0，（7分）
所以抛物线的解析式为：
y=-x²+4x；（8分）

（4）∵抛物线y=-x²+4x的对称轴是CD，x=2，
①当点E在x轴的上方时，CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形，此时点F和点C重合，
点F的坐标即为点F（2，4）；（9分）
②当点E在x轴的下方，点F在对称轴x=2的右侧，存在平行四边形AOEF，OA∥EF，且OA=EF，
此时点F的横坐标为6，
将x=6代入y=-x²+4x，可得y=-12．
所以F（6，-12）． （11分）
同理，点F在对称轴x=2的左侧，存在平行四边形OAEF，OA∥FE，且OA=FE，
此时点F的横坐标为-2，
将x=-2代入y=-x²+4x，可得y=-12，
所以F（-2，-12）． （12分）
综上所述，点F的坐标为（2，4），（6，-12），（-2，-12）．（12分）

点评：此题主要考查了解直角三角形、三角形面积的求法、二次函数解析式的确定以及平行四边形的判定等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，综合性强，难度偏大．