Question

【题目】如果，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD∥OC交AC的延长线于点D．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若∠D=30°，OC=2．

①求∠ABC的度数；

②求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①60°；②．

【解析】

（1）先利用同弧所对的圆周角和圆心角的关系证明∠BOC=90°，再由平行线的性质得出OBD=90°，按照切线的判定定理可得答案；

（2）延长CO交⊙O于点E，连接AE，过C作CH⊥AB于H．①平行线的性质可得∠ACE=∠D=30°，由直径所对的圆周角为直角可得∠EAC=90°，从而可得∠E=60°，再利用同弧所对的圆周角相等可得答案；②由半径的长求得直径的长，利用30°角所对直角边等于斜边的一半，可得AE的长，由勾股定理求得AC的长，利用含45°角的直角三角形和含60°角的直角三角形，可分别求得AH和BH的长，两者相加即可得出AB的长．

（1）证明：∵∠BAC=45°，

∴∠BOC=2∠BAC=90°，

∵BD∥OC，

∴∠BOC+∠OBD=180°，

∴∠OBD=90°，

∴BD是⊙O的切线；

（2）延长CO交⊙O于点E，连接AE，过C作CH⊥AB于H．

①∵BD∥OC，∠D=30°，

∴∠ACE=∠D=30°，

∵CE为直径，

∴∠EAC=90°，

∴∠E=60°，

∴∠ABC=∠E=60°；

②∵OC=2，

∴CE=4，

∵∠EAC=90°，∠ACE=30°，

∴AECE=2，

∴AC2．

∵∠BAC=45°，

∴AH=CHAC2．

∵∠ABC=60°，

∴BHCH，

∴AB=AH+BH．