Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E,连接OE

（1）求证：△DBE是等腰三角形

（2）求证：△COE∽△CAB

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）连接OD，由DE是⊙O的切线，得出∠ODE＝90°，∠ADO＋∠BDE＝90°，由∠ACB＝90°，得出∠CAB＋∠CBA＝90°，证出∠CAB＝∠ADO，得出∠BDE＝∠CBA，即可得出结论；

（2）证出CB是⊙O的切线，得出DE＝EC，推出EC＝EB，再由OA＝OC，得出OE∥AB，即可得出结论．

（1）连接OD、OE，如图所示：

∵DE是⊙O的切线，

∴∠ODE＝90°，

∴∠ADO＋∠BDE＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠CAB＋∠CBA＝90°，

∵OA＝OD，

∴∠CAB＝∠ADO，

∴∠BDE＝∠CBA，

∴EB＝ED，

∴△DBE是等腰三角形；

（2）∵∠ACB＝90°，AC是⊙O的直径，

∴CB是⊙O的切线，

∵DE是⊙O的切线，

∴DE＝EC，

∵EB＝ED，

∴EC＝EB，

∵OA＝OC，

∴OE∥AB，

∴△COE∽△CAB．