Question

如图，在直角坐标系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，Rt△OAB的面积恒为。

试解决下列问题：
（1）填空：点D坐标为____；
（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；
（3）等式BO=BD能否成立？为什么？
（4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）； （2）由Rt△OAB的面积为，得B（t，）， ∵BD2=AC2+（AB-CD）2， = ∴②； （3）若OB=BD，则OB2=BD2， 在Rt△OAB中，OB2=OA2+AB2=， 由①得，得， ∴， ∵， ∴此方程无解， ∴OB≠BD； （4）如果，①当∠EBD=90°时，此时F，E，M三点重合，如右上图 ∵BF⊥x轴，DC⊥x轴， ∴BF∥DC， ∴此时四边形BDCF为直角梯形； ②当∠EDB=90°时，如右下图 ∵CF⊥OD，∴BD∥CF， 又AB⊥x轴，DC⊥x轴， ∴BF∥DC， ∴此时四边形BDCF为平行四边形； 下证平行四边形BDCF为菱形： 在Rt△BDO中，OB2=OD2+BD2， ∴， ∴， ， ∵BD在OD上方，解得， 或，（舍去），得 此时BD=CD=， ∴此时四边形BDCF为菱形。