【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③m为任意实数,则a+b>am2+bm;④a﹣b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,则x1+x2=2.其中正确的有( )
A.①②③B.②④C.②⑤D.②③⑤
【答案】C
【解析】
由抛物线的开口方向、抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点判断①②,由顶点坐标确定函数最大值是a+b+c判断③,然后根据抛物线与轴交点的个数及对称轴判断④,由ax12+bx1=ax22+bx2恒等变形得x1+x2=,根据对称轴直线x==1,可以判断⑤.
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线对称轴为直线x==1,
∴b=﹣2a>0,即2a+b=0,所以②正确;
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∴abc<0,所以①错误;
∵抛物线对称轴为直线x=1,
∴函数的最大值为a+b+c,
∴当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm,所以③错误;
∵抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左侧,而对称轴为直线x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点在(﹣1,0)的右侧
∴当x=﹣1时,y<0,
∴a﹣b+c<0,所以④错误;
∵ax12+bx1=ax22+bx2,
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0,
∴a(x1+x2)(x1﹣x2)+b(x1﹣x2)=0,
∴(x1﹣x2)[a(x1+x2)+b]=0,
而x1≠x2,
∴a(x1+x2)+b=0,即x1+x2=,
∵b=﹣2a,
∴x1+x2=2,所以⑤正确.
综上所述,正确的有②⑤.
故选:C.
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【题目】如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字重复出现组成的,那么我们把这样的自然数叫做循环数,重复的一个或几个数字称为“循环节”,我们把“循环节”的数字个数叫做循环节的阶数.例如:525252,它由“52”依次重复出现组成,所以525252是循环数,它是2阶6位循环数.再如:77,是1阶2位循环数,135135135是3阶9位循环数.
(1)请直接写出1个2阶4位循环数 ,并证明对于任意一个2阶4位循环数,若交换其循环节的数字得到一个新的4位数,则该新数和原数的差能够被9整除.
(2)已知一个能被9整除的2阶4位数.设循环节为ab,且满足a﹣2b为非负偶数,求这个4位循环数.
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【题目】已知抛物线的对称轴为,与轴的一个交点在和之间,其部分图像如图所示,则下列结论:①点,,是该抛物线上的点,则;②;③(为任意实数).其中正确结论的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
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【题目】某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y (℃)与时间x(h)之间的函数关系,其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.
请根据图中信息解答下列问题:
(1)求这天的温度y与时间x(0≤x≤24)的函数关系式;
(2)求恒温系统设定的恒定温度;
(3)若大棚内的温度低于10℃时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣4,0),B(﹣3,﹣3),C(﹣1,﹣3).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△ADE(其中点B,C的对称点分别为点D、E);
(2)画出△ABC关于原点成中心对称的△FGH(其中A、B、C的对称点分别为点F,G,H).
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,连结EF、EO,若DE=,∠DPA=45°.
(1)求⊙O的半径;
(2)求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图①,在四边形中,于点,,点为中点,为线段上的点,且.
(1)求证:平分;
(2)若,连接,当四边形为平行四边形时,求线段的长;
(3)若点为的中点,连接、(如图②),求证:.
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【题目】如图,直线AB与反比例函数的图象交于点A已知点,点C是反比例函数的图象上的一个动点过点C作x轴的垂线,交直线AB于点D.
(1)求k的值.
(2)若,求的面积.
(3)在点C运动的过程中,是否存在点C,使?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
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