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【题目】二次函数yax2+bx+ca≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc0;②2a+b0;③m为任意实数,则a+bam2+bm;④ab+c0;⑤若ax12+bx1ax22+bx2,且x1x2,则x1+x22.其中正确的有(  )

A.①②③B.②④C.②⑤D.②③⑤

【答案】C

【解析】

由抛物线的开口方向、抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点判断①②,由顶点坐标确定函数最大值是a+b+c判断③,然后根据抛物线与轴交点的个数及对称轴判断④,由ax12+bx1ax22+bx2恒等变形得x1+x2,根据对称轴直线x1,可以判断⑤.

∵抛物线开口向下,

a0

∵抛物线对称轴为直线x1

b=﹣2a0,即2a+b0,所以②正确;

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,

c0

abc0,所以①错误;

∵抛物线对称轴为直线x1

∴函数的最大值为a+b+c

∴当m≠1时,a+b+cam2+bm+c,即a+bam2+bm,所以③错误;

∵抛物线与x轴的一个交点在(30)的左侧,而对称轴为直线x1

∴抛物线与x轴的另一个交点在(﹣10)的右侧

∴当x=﹣1时,y0

ab+c0,所以④错误;

ax12+bx1ax22+bx2

ax12+bx1ax22bx20

ax1+x2)(x1x2+bx1x2)=0

∴(x1x2[ax1+x2+b]0

x1x2

ax1+x2+b0,即x1+x2

b=﹣2a

x1+x22,所以⑤正确.

综上所述,正确的有②⑤.

故选:C

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