Question

（2003•厦门）已知抛物线y=x²+（2k+1）x-k²+k．
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设x₁、x₂是此抛物线与x轴两个交点的横坐标，且满足x₁²+x₂²=-2k²+2k+1．
①求抛物线的解析式；
②设点P（m₁，n₁）、Q（m₂，n₂）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求m₁+m₂的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，再求出的方程的△是否大于0即可．
（2）①令y=0，用一元二次方程的根与系数进行求解即可．
②P、Q关于抛物线对称轴对称，则说明了两点的纵坐标相同，即n₁=n₂，根据抛物线的解析式，可用m₁，m₂表示出n₁，n₂然后根据n₁=n₂求解即可．
解答：解：（1）△=（2k+1）²-4（-k²+k）=8k²+1＞0
∴抛物线与x轴有两个不同的交点

（2）①由题意：（x₁+x₂）²=（2k+1）²-2（-k²+k）=-2k²+2k+1；
4k²+4k+1+2k²-2k=-2k²+2k+1
∴8k²=0，k=0
抛物线的解析式为y=x²+x．
②∵点P、Q关于次抛物线的对称轴对称；
∴n₁=n₂，又n₁=m₁²+m₁，n₂=m₂²+m₂
∴m₁²+m₁=m₂²+m₂，
即（m₁-m₂）（m₁+m₂+1）=0
∵P、Q是抛物线上不同的点
∴m₁≠m₂，
即m₁-m₂≠0
∴m₁+m₂=-1．
点评：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系等知识点．