Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，将△BCD沿对角线BD折叠后，点C刚好落在AB边上的点E处．
（1）试判断四边形BCDE的形状，并说明理由；
（2）若AE=2，∠A=60°，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）由翻折变换的性质可得DC=DE，BC=BE，∠CBD=∠EBD，由平行线的性质，通过等量代换推出∠CBD=∠CDB，即可求出DC=DE=BC=BE，最后可确定四边形BCDE是菱形；
（2）过点D作DF⊥AB于F，由四边形ABCD是等腰梯形，AD=BC，AB∥CD，推出∠ABC和∠ADC的度数，由菱形的性质可推出∠EDC=∠ABC=60°，DC=DE=BC=BE=2，即得，∠ADE=∠ADC-∠EDC=120°-60°=60°，根据∠A=∠ADC=60°，可确定DE=AE=AD=2，即：△ADE是等边三角形，AF=1，然后根据勾股定理推出DF的长度后，即可求出S_梯形ABCD．

解答：解：（1）四边形BCDE是菱形．理由是：
∵△BCD沿对角线BD折叠后，点C刚好落在AB边上的点E处，
∴△BCD与△BED重合，
∴DC=DE，BC=BE，∠CBD=∠EBD，
又∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠EBD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴DC=BC，
∴DC=DE=BC=BE，
∴四边形BCDE是菱形，

（2）过点D作DF⊥AB于F，
∵四边形ABCD是等腰梯形，AD=BC，AB∥CD，
∴∠A=∠ABC=60°，∠A+∠ADC=180°，
∴∠ADC=120°，
又∵四边形BCDE是菱形，
∴∠EDC=∠ABC=60°，DC=DE=BC=BE=2，
∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=120°-60°=60°，
∴∠A=∠ADE=60°，
∴DE=AE=AD=2  即：△ADE是等边三角形，
又∵DF⊥AB  AE=2，
∴AF=1，
在RT△ADF中，
∵DF=

AD2-AF2

=

22-12

=

3

，
又∵DC=2，AB=4
∴S_梯形ABCD=

1

2

(DC+AB)×DF=

1

2

(2+4)×

3

=3

3

．

点评：本题主要考查翻折变换的性质，菱形的判定及性质，勾股定理的运用，等边三角形的判定及性质，平行线的性质等知识点，（1）的解题关键在于推出∠CBD=∠CDB，确定DC=BC，（2）小题的解题关键在于正确的做出辅助线，根据（1）中所推出的结论，推出∠A=∠ADC=60°，确定△ADE是等边三角形，运用勾股定理推出DF的长度．