Question

4．在△ABC中，高线AD、CE交于点F，且EC=EA．
（1）如图1，求证：EF=BE；
（2）如图2，若EH⊥AD于点H，连接DE，S_△BDE：S_△AED=1：2，S_△ABC=75，求△EDH的面积．

Answer 1

分析 （1）欲证明EF=BE，只要证明△AEF≌△CEB即可．
（2）先证明EF=CF=EB，推出S_△EFA=S_△CFA=S_△CEB，求出这三个三角形面积求出AE、EF，再利用△AHE∽△AEF，得到$\frac{AH}{AE}$=$\frac{EH}{EF}$，设HE=b，则AH=2b，利用勾股定理求出b，再利用HE∥DB，得$\frac{AE}{EB}$=$\frac{AH}{DH}$=2，求出DH即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEF=∠CEB=∠ADC=90°，
∴∠EAF+∠B=90°，∠ECB+∠B=90°，
∴∠EAF=∠ECB，
在△AEF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠CEB}\\{∠EAF=∠ECB}\\{AE=CE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CEB，
∴EF=EB．
（2）解：如图2中，∵EF=EB，AE=EC=2EB
∴EF=FC，
∴S_△EFA=S_△CFA=S_△CEB，
∵S_△ABC=75，
∴S_△EFA=S_△CFA=S_△CEB=25，设EF=EB=a，
则$\frac{1}{2}$•2a•a=25，
a=5，
∴AE=10，
∵∠EAH=∠EAF，∠AHE=∠AEF=90°，
∴△AHE∽△AEF，
∴$\frac{AH}{AE}$=$\frac{EH}{EF}$，
∴$\frac{AH}{EH}$=$\frac{AE}{EF}$=2，设HE=b，则AH=2b，（2b）²+b²=10²，解得b=2$\sqrt{5}$，
∴AH=4$\sqrt{5}$，HE=2$\sqrt{5}$，
∵HE∥DB，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{AH}{DH}$=2，
∴DH=2$\sqrt{5}$，
∴S_△EDH=$\frac{1}{2}$•EH•DH=10．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．