如图.直线y=3x+23与x轴交于点A.与y轴交于点D.以AD为腰.以x轴为底作等腰梯形ABCD.且等腰梯形的面积是83.二次函数y=ax2+bx+c经过等腰梯形的四个顶点．(1)求点A.B.C的坐标(2)求抛物线的解析式,(3)若点P为x轴上的一个动点.当点P运动到什么位置时.△ADP为等腰三角形.求这时点P的坐标,(4)若点P为抛物线上的一个动点.是否存在点P使� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，直线y=

x+2

与x轴交于点A、与y轴交于点D，以AD为腰，以x轴为底作

等腰梯形ABCD（AB＞CD），且等腰梯形的面积是8

，二次函数y=ax²+bx+c经过等腰梯形的四个顶点．
（1）求点A，B，C的坐标
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P为x轴上的一个动点，当点P运动到什么位置时，△ADP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
（4）若点P为抛物线上的一个动点，是否存在点P使△ADP为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，简要地进行说明有几个，并至少求出其中的一个点坐标．

分析：（1）过C作CE⊥AB于E，利用矩形的性质分别求得三点的坐标即可；
（2）利用上题求得的点的坐标，用待定系数法求得二次函数的解析式即可；
（3）根据点P为x轴上的一个动点分两种情况讨论得到点p的坐标即可；
（4）假设存在这样的点p，从存在出发将M、N的点的坐标代入到函数的解析式中得到有关的方程组求得点P的坐标即可．

解答：

解：（1）过C作CE⊥AB于E，
则△AOD≌△BCE，四边形CDOE为矩形，
∴CD=OE，AO=BE，
y=

x+2

中x=0，y=2

；x=-2，y=0，

×2

×（2+2+2OE）=8

，
∴OE=CD=2，
∴C（2，2

），B（4，0），A（-2，0），

（2）∵二次函数y=ax²+bx+c经过A、C、B三点（3分）
∴

4a-2b+c=0

4a+2b+c=2

16a+4b+c=0

解得：

a=-

c=2

∴抛物线的解析式为：y=-

x²+

x+2

（5分）

（3）点P为x轴上的一个动点
∵在△AOD中，∠DOA=90°，可求得AD=4=2AO，
∴∠ADO=30°，∠DAO=60°；
当P在A右边时，
∵△ADP为等腰三角形，
∴△ADP是等边三角形，
∴AP=AD=4，
∴P的坐标是（2，0）；
当P在A左边时，△ADP是以A为顶点的等腰三角形，AO=AD=4，点P的坐标为（-6，0）．（10分）

（4）满足条件的抛物线上的点有四个，其中以AD为腰的等腰三角形有两个，以AD为底的等腰三角形有两个．
以AD为底的等腰三角形的点P有两个，P一定在AD的垂直平分线，由△AOD≌△AMN得：点M、N的坐标为
M（-1，

），N（2，0），则直线MN：y=-

，
∵二次函数：y=-

x²+

x+2

，组
成方程组解得：

219

∴P₁（

，

219

），P₂（

，

219

）（14分）

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式等知识．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

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