Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC 在线段OM上，点A、D在抛物线上．
（1）请写出P、M两点的坐标，并求这条抛物线的解析式．
（2）设矩形ABCD的周长为L
①当BC=2时，求矩形ABCD的周长；
②矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值．
（3）连接OP、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否还存在点Q（除点M外），使得△OPQ也是等腰三角形？若有，请在图上用尺规作图方法作出．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的顶点P到轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4，知点P的横坐标是OM的一半，即2；点P的纵坐标是4．点M的坐标是（4，0）．根据点P的坐标可以运用顶点式求函数的解析式，再进一步把点M的坐标代入即可．
（2）①作二次函数对称轴PE，根据CB=2和对称轴的坐标可求出C点坐标，代入抛物线解析式即可求出D点坐标，从而求出CD的长，然后求出矩形ABCD的周长；
②设C（x，0），则B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²）．分别表示出矩形的长和宽，再进一步根据矩形的周长公式进行计算．然后根据二次函数的最值方法进行求解；
（3）根据等腰三角形的定义，可以考虑OP当底时，共有4个点符合条件，．

解答：解：（1）根据题意，得P（2，4）；M（4，0）．
设抛物线的解析式为：y=a（x-2）²+4，
过点M（4，0），则4a+4=0，
∴a=-1，y=-（x-2）²+4=4x-x²，即y=-x²+4x；

（2）如图1，①作二次函数对称轴PE，
∵BC=2，
∴CE=1，
又∵对称轴为x=-

4

2×(-1)

=2，
∴C点坐标为（1，0），
将x=1代入y=-x²+4x，得CD=y=-1+4=3，
则矩形ABCD的周长为2CD+2BC=2×（2+3）=10．
②设C（x，0），
则B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²）．
∵L=2（BC+CD）
=2[（4-2x）+（4x-x²）]
=2（-x²+2x+4）
=-2（x-1）²+10，
∵当x=1时，L有最大值，即L_最大值=10；

（3）存在，如图2．应该一共存在4个点，OP的垂直平分线与抛物线有两个交点，
以O为圆心，OP为半径作圆，圆与抛物线也有两个交点（除P点以外），
这四个点都符合题意．

点评：本题考查了二次函数综合题，能够根据已知条件选择恰当的待定系数法求得二次函数的解析式；能够利用建立函数关系式的方法求得周长或面积的最值；若要构成等腰三角形，则已知的边可以当底，也可以当腰．