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    14．将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．DF=8．
    （1）若P是BC上的一个动点，当PA=DF时，求此时∠PAB的度数；
    （2）将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
    ①求证：AD∥BF；
    ②若P是BC的中点，连接FP，将等腰直角三角板ABC绕点B继续旋转，当旋转角α=210°时，FP长度最大，最大值为16+4$\sqrt{3}$（直接写出答案即可）．

    分析 （1）利用锐角三角函数求出∠APH，然后分两种情况计算即可；
    （2）①作出AM⊥BC，DN⊥BC，得到AM∥DN，在计算出AM，DN，得到AM=DN，出现平行四边形AMND，②先判断出PF最大时，点P落在FB的延长线上，再求解即可．

    解答 解：如图1，
    D，
    （1）作AH⊥BC于H，
    ∴AH=$\frac{1}{2}$BC，
    ∵DF=8，∠DEF=30°，
    ∴BC=DE=$\frac{DF}{tan∠DEF}$=8$\sqrt{3}$，
    ∴AH=4$\sqrt{3}$，
    当PA=DF=8时，sin∠APH=$\frac{AH}{AP}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
    ∴∠APH=60°，
    ①∵∠ABC=45°，∠AP1H=60°，
    ∴∠BAP1=∠AP1H-∠ABC=15°，
    ②∵∠ACB=45°，∠AP2H=60°，
    ∴∠CAP2=∠AP2B-∠ACB=15°，
    ∵∠BAC=90°，
    ∴∠BAP2=90°-∠CAP2=75°；
    ∴∠PAB的度数为15°或75°；
    （2）①如图2作AM⊥BC，DN⊥BC，

    在Rt△ABC中，AB=AC，BC=8$\sqrt{3}$，
    ∴AM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
    在Rt△BCF中，∠F=60°，DF=8，
    ∴DN=DF×sin∠F=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
    ∴AM=DN，
    ∵AM∥DN，
    ∴四边形AMND是平行四边形，
    ∴AD∥BC；
    ②∵P是BC的中点，且FP长度最大，则有点F，B，P在同一条直线上，
    即：点P在FB的延长线上，
    ∴BC边旋转180°，
    ∵∠CDF=30°，
    ∴旋转角α=210°，
    ∵P是BC的中点，BC=8$\sqrt{3}$，
    ∴BP=4$\sqrt{3}$，
    ∵BF=2DF=16，
    ∴FP=16+4$\sqrt{3}$，
    故答案为210°，16+4$\sqrt{3}$．

    点评 此题是几何变换综合题，主要考查了锐角三角函数的定义，和特殊角的三角函数，平行四边形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解本题的关键，本题的难点是点P在何位置时，PF最大．

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