Question

13．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A=70°，∠B=80°．求∠C、∠D的度数．
（2）如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE⊥CD交AC于点E，求证：四边形BCED是“等对角四边形”．
（3）如图2，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD平分∠ACB，点E在AC上，且四边形CBDE为“等对角四边形”，则线段AE的长为1或$\frac{25}{7}$．

Answer 1

分析 （1）根据“等对角四边形”的定义，当四边形ABCD是“等对角四边形”时，可分两种情况进行讨论：①若∠A=∠C，∠B≠∠D，则∠C=70°，再利用四边形内角和定理求出∠D；②若∠B=∠D，∠A≠∠C，则∠D=80°，再利用四边形内角和定理求出∠C；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD=DB=DC，由等边对等角得出∠DCB=∠B，再由∠B+∠ACD=∠DCB+∠ACD=90°，∠CED+∠ACD=90°，利用同角的余角相等得出∠CED=∠B，又∠ECB≠∠EDB，根据“等对角四边形”的定义，即可证明四边形BCED是“等对角四边形”；
（3）根据“等对角四边形”的定义，当四边形CBDE为“等对角四边形”时，可分两种情况进行讨论：①若∠B=∠DEC，∠BCE≠∠BDE，根据AAS证明△CDE≌△CDB，利用全等三角形对应边相等得出EC=BC=3，那么AE=AC-EC=1；②若∠BCE=∠BDE=90°，∠B≠∠DEC，先利用勾股定理求出AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，再根据角平分线定理得出$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，求出AD=$\frac{4}{7}$AB=$\frac{20}{7}$，再证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例即可求出AE．

解答 （1）解：①若∠A=∠C，∠B≠∠D，
则∠C=70°，∠D=360°-70°-70°-80°=140°；
②若∠B=∠D，∠A≠∠C，
则∠D=80°，∠C=360°-80°-80°-70°=130°；

（2）证明：如图1，在Rt△ABC中，
∵CD为斜边AB边上的中线，
∴AD=DB=DC，
∴∠DCB=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠B+∠ACD=90°．
∵DE⊥CD，
∴∠CED+∠ACD=90°，
∴∠CED=∠B，
且∠ECB≠∠EDB，
∴四边形BCED是“等对角四边形”；

（3）解：①若∠B=∠DEC，∠BCE≠∠BDE，如图2．
在△CDE与△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠B}\\{∠DCE=∠DCB}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CDB，
∴EC=BC=3，
∴AE=AC-EC=4-3=1；
②若∠BCE=∠BDE=90°，∠B≠∠DEC，如图3．
∵在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵CD平分∠ACB，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
∴AD=$\frac{4}{7}$AB=$\frac{20}{7}$．
在△ADE与△ACB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠A}\\{∠ADE=∠ACB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{AE}{5}$=$\frac{\frac{20}{7}}{4}$，
∴AE=$\frac{25}{7}$．
综上所述，线段AE的长为1或$\frac{25}{7}$．
故答案为1或$\frac{25}{7}$．

点评 本题是四边形综合题，主要考查了四边形内角和定理，直角三角形、等腰三角形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，余角的性质，勾股定理，理解“等对角四边形”的定义并且利用分类讨论思想是解题的关键．