Question

（2013•曲靖）如图，⊙O的直径AB=10，C、D是圆上的两点，且

AC

=

CD

=

DB

．设过点D的切线ED交AC的延长线于点F．连接OC交AD于点G．
（1）求证：DF⊥AF．
（2）求OG的长．

Answer 1

分析：（1）连接BD，根据

AC

=

CD

=

DB

，可得∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°，从而可得∠AFD=90°；
（2）根据垂径定理可得OG垂直平分AD，继而可判断OG是△ABD的中位线，在Rt△ABD中求出BD，即可得出OG．

解答：解：（1）连接BD，
∵

AC

=

CD

=

DB

，
∴∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°，
∴∠ADF=∠ABD=60°，
∴∠CAD+∠ADF=90°，
∴DF⊥AF．
（2）在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=10，
∴BD=5，
∵

AC

=

CD

，
∴OG垂直平分AD，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG=

1

2

BD=

5

2

．

点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理及垂径定理的知识，解答本题要求同学们熟练掌握各定理的内容及含30°角的直角三角形的性质．