Question

【题目】如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）求证：E为△PAB的内心；

（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）PO=5

【解析】

（1）连结OB，如图1，由AC为⊙O的直径可得∠ABC＝90°，进而得PO∥BC，然后根据平行线的性质、等腰三角形的性质和等量代换可得∠AOP＝∠POB，再根据SAS证明△AOP≌△BOP，可得∠OBP＝∠OAP，易知∠OAP＝90°，进一步即可证得结论；

（2）连结AE，如图2，根据切线长定理可得PD平分∠APB，只要根据切线的性质和等角的余角相等证明EA平分∠PAD，然后即可根据三角形内心的概念证得结论；

（3）易得∠PAB＝∠C，然后在直角△ABC中根据余弦的定义可求出AC、OA，易证△PAO∽△ABC，进而可根据相似三角形的性质列出比例式，再代入计算即可．

解：（1）证明：连结OB，如图1，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，

∵AB⊥PO，

∴PO∥BC，

∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠C，

∴∠AOP＝∠POB，

在△AOP和△BOP中，∵OA=OB，∠AOP＝∠POB，PO=PO，

∴△AOP≌△BOP（SAS），

∴∠OBP＝∠OAP，

∵PA为⊙O的切线，

∴∠OAP＝90°，

∴∠OBP＝90°，

∴PB是⊙O的切线；

（2）证明：连结AE，如图2，

∵PA为⊙O的切线，

∴∠PAE+∠OAE＝90°，

∵AD⊥ED，

∴∠EAD+∠AED＝90°，

∵OE＝OA，

∴∠OAE＝∠AED，

∴∠PAE＝∠DAE，

即EA平分∠PAD，

∵PA、PB为⊙O的切线，

∴PD平分∠APB，

∴E为△PAB的内心；

（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，

∴∠PAB＝∠C，

∴cos∠C＝cos∠PAB＝，

在Rt△ABC中，cos∠C＝＝，

∴AC＝，AO＝，

∵∠PAO=∠ABC=90°，∠POA=∠ACB，

∴△PAO∽△ABC，

∴，即，

解得：PO＝5．