Question

设正实数a、b、c满足a+b+c=1，y=

1-3a2

+

1-3b2

+

1-3c2

，则y的范围是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：首先构造直角三角形，设AH=

3

a，DE=

3

b，FG=

3

c，利用AD=DF=BF=1得出DH，EF，BG的长，再利用三角形三边关系得出y的取值范围．

解答：解：如图所示构造直角三角形，设AH=

3

a，DE=

3

b，FG=

3

c，
且AD=DF=BF=1，则DH=

1-3a2

，EF=

1-3b2

，BG=

1-3c2

．
利用三角形三边关系得出：DH＞AD-AH，EF＞DF-DE，BG＞BF-FG，
叠加可得

1-3a2

+

1-3b2

+

1-3c2

＞3-

3

．
而AB≤AD+DF+FB=3，
故DH+EF+BG=BC=

AB2-AC2

≤

9-3

=

6

，
即

1-3a2

+

1-3b2

+

1-3c2

≤

6

．
故答案为：3-

3

＜y≤

6

．

点评：此题主要考查了勾股定理以及三角形三边关系，利用已知构造出直角三角形得出是解题关键．