Question

如图，∠ABC=90°，AB=BC．
（1）画四边形ABCD，使AD＞CD，且∠ADC=90°，再画点B到AD的垂线段BE，垂足为E．
（2）在四条线段AE，BE，CD，DE中，某些线段之间存在一定的数量关系．请你写出两个等式分别表示这些数量关系（每个等式中含有其中的2条或3条线段），并任选一个等式说明等式成立的理由．

Answer 1

分析：（1）连接AC，作出以AC为直径的⊙O，然后⊙O上选择使AD＞CD的一点，连接AD、CD，根据直径所对的圆周角是直角可知∠ADC=90°；以点B为圆心，以任意长为半径画弧，与AD相交于两点，再以这两点为圆心，以大于它们

1

2

长度为半径画弧，相交于一点，然后过这点与点B作线段BE即可；
（2）过点C作CF⊥BE于点F，先根据直角的关系得到∠ABE=∠BCF，然后利用角边角证明△BFC与△AEB全等，然后根据全等三角形对应边相等可得BE=CF，AE=BF，又四边形CDEF为矩形，根据矩形的对边相等，然后结合图形即可得到线段之间的关系．

解答：解：（1）如图所示；

（2）DE=BE，BE-CD=AE．
理由如下：
过点C作CF⊥BE，垂足为F，
∴∠BCF+∠CBE=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△BFC与△AEB中，

∠ABE=∠BCF ∠AEB=∠BFC=90° AB=BC

，
∴△BFC≌△AEB（AAS），
∴BE=CF，AE=BF，
又∵BE⊥AD，∠ADC=90°，CF⊥BE，
∴四边形CDEF是矩形，
∴DE=CF，EF=CD，
∴①DE=BE，
②又∵BE-EF=BF，
∴BE-CD=AE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据题意想到四边形ABCD是圆内接四边形并作出四边形的外接圆是解题的关键．