已知二次函数y1=ax2+bx+1.一次函数y2=x．(1)若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象只有一个交点.求a与b之间的关系,(2)若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象只有一个交点.且这个交点的横坐标是2.求a.b的值,(3)若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象有两个交点(x1.0)(x2.0).且满足x1＜2＜x2＜4.此� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知二次函数y₁=ax²+bx+1（a＞0），一次函数y₂=x．
（1）若二次函数y₁的图象与一次函数y₂的图象只有一个交点，求a与b之间的关系；
（2）若二次函数y₁的图象与一次函数y₂的图象只有一个交点，且这个交点的横坐标是2，求a、b的值；
（3）若二次函数y₁的图象与一次函数y₂的图象有两个交点（x₁，0）（x₂，0），且满足x₁＜2＜x₂＜4，此时设函数y₁的对称轴为x=x₀，求证：x₀＞-1．

分析：（1）将直线的解析式代入抛物线的解析式后，由根的判别式可以得出a与b之间的关系．
（2）将交点的横坐标代入ax²+bx+1=x与（1）求出的a与b之间的关系式构成方程组就可以求出a、b的值．
（3）根据两根的取值范围代入函数的解析式建立两个不等式，将其不等式进行变形求出对称轴的表达式，从而可以得出需要证明的结论

解答：解：（1）由题意可知一元二次方程ax²+bx+1=x有两个相等的根
∴△=（b-1）²-4a=0
a与b之间的关系便是（b-1）²=4a；

（2）若二次函数y₁的图象与一次函数y₂的图象只有一个交点，且这个交点的横坐标是2
则 ax²+（b-1）x+1=0
有且仅有一解 x=2
4a+2b-1=0
∵（b-1）²=4a，
∴（b-1）²+2b-1=0
∴b²=0，
解得 b=0，
∴1=4a，
∴a=

，
故a=

，b=0；

（3）若二次函数y₁的图象与一次函数y₂的图象有两个交点（x₁，0）（x₂，0），且满足x₁＜2＜x₂＜4
则 ax²+（b-1）x+1=0 有两不同实根x₁，x₂，且x₁＜2＜x₂＜4，a＞0
故x=2时 ax²+（b-1）x+1＜0，x=4时 ax²+（b-1）x+1＞0
∴4a+2b-1＜0 ①
16a+4b-3＞0 ②
由②-①×3，得
4a-2b＞0
∴b＜2a
∵a＞0
∴

＜1
∴-

＞-1
∴y₁的对称轴为x=x₀=-

∴x₀＞-1．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了根的判别式在二次函数中的运用，根据抛物线与直线的交点确定字母系数的值，由交点坐标的范围确定对称轴的位置等多个知识点．

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