Question

5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AB+BD=AC．
（1）在图中找出与BD相等的线段，并加以证明；
（2）若BD=4，cosC=$\frac{4}{5}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）在AC上取一点G，使AG=AB，连接DG，由AD平分∠BAC，得到∠GAD=∠BAD，根据全等三角形的性质得到DG=BD，∠AGD=∠ABC，根据角平分线的性质得到∠ABE=$\frac{1}{2}∠$ABD，根据三角形的外角的性质得到∠BFD=∠BDF．由等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{BF}$，即$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AC}{CD}$，作GH⊥BC，垂足为H，解直角三角形得到DC=2HC=2CGcosC=2×4×$\frac{4}{5}$=$\frac{32}{5}$，求得AB=$\frac{20}{3}$，根据平行线分线段成比例定理得到EG=$\frac{5}{2}$，于是得到结论．

解答 解：（1）BF=BD，
证明：在AC上取一点G，使AG=AB，连接DG，
∵AD平分∠BAC，
∴∠GAD=∠BAD，
在△GAD与△BAD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{∠BAD=∠DAG}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△GAD≌△BAD，
∴DG=BD，∠AGD=∠ABC，
∵AB+BD=AC，
∴AG+DG=AG+GC，即DG=GC，
∴∠C+∠GDC=∠AGD，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}∠$ABD，
∴∠ABE=∠C，
∴∠BFD=∠BAD+∠ABE=∠DAC+∠C=∠ADB，
∴∠BFD=∠BDF．
∴BF=BD；

（2）解：由（1）知，∠C=∠ABF，∠CAD=∠BAF，
∴△CAD∽△BAF，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{BF}$，即$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AC}{CD}$，
作GH⊥BC，垂足为H，
由（1）知，GC=GD=BD=4，
∴DC=2HC=2CGcosC=2×4×$\frac{4}{5}$=$\frac{32}{5}$，
∴$\frac{AB}{4}=\frac{AB+4}{\frac{32}{5}}$，
∴AB=$\frac{20}{3}$，由（1）知，∠EBD=∠GDC，∴DG∥BE．
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CG}{EG}$，即$\frac{\frac{32}{5}}{4}$=$\frac{4}{EG}$，
∴EG=$\frac{5}{2}$，
∴AE=AG-EG=$\frac{20}{3}$-$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{6}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．