Question

4．如图，AC的垂线BC与菱形ACEF的对角线AE的延长线交于点B，FE的延长线交BC于点D．
（1）若∠B=25°，∠DCE=40°；
（2）当D为BC的中点时，①求∠DCE的度数；②连接CF、BF，判断△BCF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用互余计算出∠BAC=65°，再根据菱形的性质得CA=CE，所以∠CEA=∠CAE=65°，于是利用三角形内角和定理可得∠ACE=50°，然后利用互余可计算出∠DCE；
（2）①先由菱形的性质得EF∥AC，则可判断点E为AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=AE=BE，则可判断△ACE为等边三角形，所以∠ACE=60°，然后利用互余可计算出∠DCE；
②由菱形的性质得AE垂直平分CF，FC平分∠ACE，则根据线段垂直平分线的性质由BF=BC，由角平分线定义得∠ECF=30°，于是可计算出∠BCF=∠BCE+∠ECF=60°，然后根据等边三角形的判定方法可判断△BCF为等边三角形．

解答 解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=65°，
∵四边形ACEF为菱形，
∴CA=CE，
∵∠CEA=∠CAE=65°，
∴∠ACE=180°-65°-65°=50°，
∴∠DCE=90°-∠ACE=40°；
故答案为40；
（2）①∵四边形ACEF为菱形，
∴EF∥AC，
而D为BC的中点，
∴点E为AB的中点，
∴CE=AE=BE，
而CE=CA，
∴△ACE为等边三角形，
∴∠ACE=60°，
∴∠DCE=90°-∠ACE=30°；
②△BCF为等边三角形．理由如下：
∵四边形ACEF为菱形，
∴AE垂直平分CF，FC平分∠ACE，
∴BF=BC，∠ECF=30°，
∴∠BCF=∠BCE+∠ECF=30°+30°=60°，
∴△BCF为等边三角形．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了等边三角形的判定与性质．