Question

【题目】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有2个实数根，且其中一个实数根是另一个实数根的3倍，则称该方程为“立根方程”．

（1）方程x2﹣4x+3＝0　 立根方程，方程x2﹣2x﹣3＝0　 立根方程；（请填“是”或“不是”）

（2）请证明：当点（m，n）在反比例函数y上时，关于x的一元二次方程mx2+4x+n＝0是立根方程；

（3）若方程ax2+bx+c＝0是立根方程，且两点P（3，2）、Q（6，2）均在二次函数y＝ax2+bx+c上，求方程ax2+bx+c＝0的两个根．

Answer 1

【答案】（1）是，不是；（2）见解析；（3）x1＝, x2=

【解析】

（1）分别解方程x2-4x+3=0与x2-2x-3=0，求出它们的根，根据“立根方程”的定义，判断它们是不是立根方程．

（2）由点（m，n）在反比例函数y= 的图象上，得到mn=3，解方程mx2+4x+n=0求得x1与x2的值，判断是不是立根方程．

（3）由方程ax2+bx+c=0是立根方程，得到x1=3x2，由纵坐标相同的两点P（3，2）、Q（6，2）都在抛物线y=ax2+bx+c上，根据抛物线的对称轴得到x1+x2＝9，从而求出方程的两个根．

解：（1）解方程x2-4x+3=0，得：x1=3，x2=1，
∵x1=3x2，
∴方程x2-4x+3=0是立根方程；
解方程x2-2x-3=0，得：x1=3，x2=-1，
∵x1=-3x2，
∴方程x2-2x-3=0不是立根方程．
故答案为：是，不是．

（2）∵点（m,n）在反比例函数上，所以

用求根公式解方程得：

x1＝﹣，x2＝﹣，

∴x1＝3x2，

当点（m，n）在反比例函数y＝上时，一元二次方程mx2+4x+n＝0是立根方程；

（3）∵方程ax2+bx+c＝0是立根方程，∴设x1＝3x2，

∵P（3，2），Q（6，2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，

∴抛物线的对称轴，

∴x1+x2＝9，∴3x2+x2＝9，∴x2=，∴x1＝3x2＝．

所以方程ax2+bx+c＝0的两个根为：x1＝, x2=