Question

已知：如图，AB、BE、CF是等边△ABC的角平分线．求证：△DEF是等边三角形．

Answer 1

考点：等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据等边三角形三边的角平分线就是三边的中线和三边上的高，即可得出△AEF、△BDF、△DEC是等边三角形，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，从而求得
∠EFC=∠FEB=∠BED=∠DEB=∠ADF=∠DFC=30°，进而证得∠EDF=∠DFE=∠FED=60°，即可证得结论．

解答：解：∵AB、BE、CF是等边△ABC的角平分线．
∴AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，D、E、F是等边三角形三边的中点，
∴EF∥BC，DE∥AB，DF∥AC，
∴△AEF、△BDF、△DEC是等边三角形，
∴∠AFE=∠AEF=∠CED=∠EDC=∠BFD=∠BDF=60°，
∴∠EFC=∠FEB=∠BED=∠DEB=∠ADF=∠DFC=30°，
∴∠EDF=∠DFE=∠FED=60°，
∴△DEF是等边三角形．

点评：本题考查了等边三角形的判定和性质，等边三角形的三线合一是本题的关键．