Question

2．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（4，0），C（-2，-3），直线BC与y轴交于点D，E为二次函数图象上任一点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点E在直线BC的上方，过E分别作BC和y轴的垂线，交直线BC于不同的两点F，G（F在G的左侧），求△EFG周长的最大值；
（3）是否存在点E，使得△EDB是以BD为直角边的直角三角形？如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，运用待定系数法求这个二次函数的解析式；
（2）如图2，先求直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，设出点E的坐标，写出点G的坐标（-m²+3m+8，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），求出EG的长，证明∴△EFG∽△DOB，根据相似三角形周长的比等于相似比表示△EFG周长═$\frac{3\sqrt{5}+5}{5}$（-m²+2m+8）=$\frac{3\sqrt{5}+5}{5}$[-（m-1）²+9]，根据二次函数的顶点确定其最值；
（3）分二种情况讨论：分别以D、B两个顶点为直角时，列方程组，求出点E的坐标，根据两垂直直线的一次项系数为负倒数得出结论．

解答 解：（1）如图1，把A（-1，0），B（4，0），C（-2，-3）代入y=ax²+bx+c中，得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{4a-2b+c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
则二次函数的解析式y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）如图2，设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（4，0），C（-2，-3）代入y=kx+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{-2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
设E（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），-2＜m＜4，
∵EG⊥y轴，
∴E和G的纵坐标相等，
∵点G在直线BC上，
当y=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2时，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2=$\frac{1}{2}$x-2，
x=-m²+3m+8，
则G（-m²+3m+8，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），
∴EG=-m²+3m+8-m=-m²+2m+8，
∵EG∥AB，
∴∠EGF=∠OBD，
∵∠EFG=∠BOD=90°，
∴△EFG∽△DOB，
∴$\frac{△EFG的周长}{△DOB的周长}$=$\frac{EG}{BD}$，
∵D（0，-2），B（4，0），
∴OB=4，OD=2，
∴BD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{△EFG的周长}{2+4+2\sqrt{5}}$=-$\frac{-{m}^{2}+2m+8}{2\sqrt{5}}$，
∴△EFG的周长=$\frac{3\sqrt{5}+5}{5}$（-m²+2m+8），
=$\frac{3\sqrt{5}+5}{5}$[-（m-1）²+9]，
∴当m=1时，△EFG周长最大，最大值是$\frac{27\sqrt{5}+45}{5}$；
（3）存在点E，
分两种情况：
①若∠EBD=90°，则BD⊥BE，如图3，
设BD的解析式为：y=kx+b，
把B（4，0）、D（0，-2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴BD的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴设直线EB的解析式为：y=-2x+b，
把B（4，0）代入得：b=8，
∴直线EB的解析式为：y=-2x+8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\\{y=-2x+8}\end{array}\right.$，
-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-2x+8，
解得：x₁=3，x₂=4（舍），
当x=3时，y=-2×3+8=2，
∴E（3，2），
②当BD⊥DE时，即∠EDB=90°，如图4，
同理得：DE的解析式为：y=-2x+b，
把D（0，-2）代入得：b=-2，
∴DE的解析式为：y=-2x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\\{y=-2x-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=8}\\{{y}_{1}=-18}\end{array}\right.$    $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
∴E（8，-18）或（-1，0），
综上所述，点E（3，2）或（8，-18）或（-1，0），
故存在满足条件的点E，点E的坐标为（3，2）或（-1，0）或（8，18）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式；根据两直线垂直，则一次项系数为负倒数，利用一条直线求另一条直线的解析式；若三角形直角三角形时，要采用分类讨论的思想，分二种情况进行讨论，利用勾股定理或解析式或相似求出点E的坐标．