Question

（2006•自贡）在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=CD，连接CE．
（1）求证：CE=CA；
（2）在上述条件下，若AF⊥CE于点F，且AF平分∠DAE，CD：AE=3：8，求cos∠ACF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明DBEC为平行四边形，即可证CE=CA．
（2）充分利用平行线分线段成比例定理，求得CF：AC即可．
解答：（1）证明：∵BE∥CD，BE=CD，
∴四边形DBEC为平行四边形．
∴CE=DB．
∵DB=AC，
∴CE=CA．

（2）解：延长EC交AD的延长线于G，
∵CD∥AE
∴=，设GC=3a，则GE=8a，故CE=5a，
∵△AEG为等腰三角形，
∴GF=EF=4a，于是CF=GF-GC=a，
则CA=CE=5a．（7分）
∴cos∠ACF=．
点评：做等腰梯形一腰的平行线构造平行四边形，或者延长两腰相交构造三角形是梯形题常用的辅助线方法．