Question

15．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a^c=b，那么（a，b）=c．
例如：因为2³=8，所以（2，8）=3．
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）=1，（5，1）=1，（2，$\frac{1}{4}$）=1．
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3ⁿ，4ⁿ）=（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3ⁿ，4ⁿ）=x，则（3ⁿ）^x=4ⁿ，即（3^x）ⁿ=4ⁿ
所以3^x=4，即（3，4）=x，
所以（3ⁿ，4ⁿ）=（3，4）．
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20）

Answer 1

分析 （1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断；
（2）设（3，4）=x，（3，5）=y，根据同底数幂的乘法法则即可求解．

解答 解：（1）∵3³=27，
∴（3，27）=3；
∵5⁰=1，
∴（5，1）=0；
∵2^-2=$\frac{1}{4}$，
∴（2，$\frac{1}{4}$）=-2；
（2）设（3，4）=x，（3，5）=y，
则3^x=4，3^y=5，
∴3^x+y=3^x•3^y=20，
∴（3，20）=x+y，
∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．
故答案为：3，0，-2．

点评 此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．