Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3

3

，BC=9，点Q是边AC上的动点（点Q不与点A、C重合），过点Q作QR∥AB，交边BC于点R，再把△QCR沿着动直线QR翻折得到△QPR，设AQ=x．
（1）求∠PRQ的大小；
（2）当点P落在斜边AB上时，求x的值；
（3）当点P落在Rt△ABC外部时，PR与AB相交于点E，如果BE=y，请直接写出y关于x的函数关系式及定义域．

Answer 1

分析：（1）首先，根据三角形的边角关系求得∠B=30°；然后由折叠的性质得到∠QRC=∠PRQ；再根据平行线的性质得到∠QRC=∠B，则∠QRC=∠B=30°；
（2）如图2，在Rt△ABC中易求∠A=60°，则由折叠的性质可得∠CQR=∠PQR=60°，所以根据平角的定义求得∠AQP=60°，故∠APQ=60°，AQ=PQ=CQ；
（3）根据折叠的性质和含有30°角的直角三角形的性质求得

解答：解：（1）如图1，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=

(3 3 )2+92

=6

3

，
∴AC=

1

2

AB，
∴∠B=30°
∵QR∥AB，
∴∠QRC=∠B=30°
∴∠PRQ=30°；

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．
∴∠A=60°，同理，可得∠CQR=60°，∠PQR=60°
∴∠AQP=180°-60°-60°，∴∠APQ=60°
∴AQ=PQ=CQ．
∴x=3

3

-x．
∴x=

3

2

3

；

（3）y=3x；定义域：0＜x＜

3

2

3

；
补充：∵由（1）、（2）可知△AFQ是等边三角形，∠PEF=30°，AB=2AC，
∴AQ=AF=QF，EF=2PF．
根据折叠的性质得到：PF=CQ-QF，
∴AE=AF+EF=AQ+2（CQ-AQ），
∵BE=AB-AE=2AC-[AQ+2（AC-AQ-AQ）]=2AC-AQ-2AC+4AQ=3AQ，
∴y=3x．
∵点P在线段AB上时，x=

3

2

3

，
∴该函数的定义域为0＜x＜

3

2

3

．

点评：本题考查了勾股定理和直角三角形的性质．解题时，充分利用了折叠的性质：对应边、对应角都相等．