[题目]如图.在△ABC 中.AB＝AC.∠BAC＝120°.D 为 BC 的中点.DE⊥AC 于点 E.AE＝8.求 CE 的长．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D 为 BC 的中点，DE⊥AC 于点 E，AE＝8，求 CE 的长．

【答案】CE＝24．

【解析】

连接 AD，利用等边对等角得∠B＝∠C＝30°, 在 Rt△ADE 中，得AD＝16，在 Rt△ADC 中，得AC＝32，即可求出CE的长.

连接 AD，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D 为 BC 的中点，

∴AD⊥BC，AD 平分∠BAC，∠B＝∠C＝30°

∴∠DAC＝ ∠BAC＝60°，

∵DE⊥AC 于 E，

∴∠AED＝90°，

∴∠ADE＝30°，

在 Rt△ADE 中，AE＝2，∠ADE＝30°，

∴AD＝2AE＝16，

在 Rt△ADC 中，AD＝4，∠C＝30°，

∴AC＝2AD＝32，

则 CE＝AC﹣AE＝32﹣8＝24．

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（1）小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；
（2）探索延伸：
如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；
（3）实际应用：
如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，当∠EOF=70°时，两舰艇之间的距离是海里．

（4）能力提高：
如图④，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，则MN的长为．

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