Question

如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA=∠CBA．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB=6，BC=3，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OC，求出∠ACB=90°，求出∠B=∠OCB=∠DCA，∠OAC=∠OCA，根据∠B+∠CAB=90°推出∠OCA+∠DCA=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）连接OE，CE，得出OC∥AE，求出∠B=60°，推出△OBC是等边三角形，△OEA是等边三角形，推出OC=AE，四边形AOCE是平行四边形，故S_△EAC=S_△EOC，得出S_阴影=S_△ADC-S_扇形EOC，分别求出△ADC和扇形EOC的面积，代入后求出即可．
解答：（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O直径，C为圆周上的一点，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，又∠MCA=∠CBA，
∴∠MCA=∠OCB，
∴∠ACO+∠MCA=90°，
即OC⊥MN，
∵OC为半径，
∴直线MN是⊙O的切线；

（2）解：连接OE，CE，
由（1）OC⊥MN，AD⊥MN，得OC∥AE，
在Rt△ACB中，cos∠B==，
∴∠B=60°，
∴OC=OB=BC=3，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∵OC∥AE，
∴∠EAO=∠COB=60°，
∵OE=OA，
∴△OEA是等边三角形，
∴OC=AE，四边形AOCE是平行四边形，故S_△EAC=S_△EOC，
于是S_阴影=S_△ADC-S_扇形EOC，
在Rt△ACB中，BC=3，AB=6，∴AC=3，
在Rt_△ADC中，AC=3，∠DCA=∠B=60°，∴DC=，AD=，
∴S_△ADC=AD•DC=，而S_扇形EOC==，
于是S_阴=S_△ADC-S_扇形EOC=．
点评：本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，平行四边形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生的计算和推理能力，题目综合性比较强，难度偏大．