Question

如图①，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°．如图②所示，现固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当AE边与AB边重合时，旋转中止，若不考虑旋转开始和结束时这两种特殊的情形，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H两点，设CG=x．
（1）始终与△AGC相似的三角形有

△HAB

及

△HGA

；
（2）设BH=y，求y关于x的函数关系式；
（3）当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根据△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，利用相似三角形的判定定理即可得出结论．
（2）由△AGC∽△HAB，利用其对应边成比例列出关于x、y的关系式：9：y=x：9即可．
（3）此题要采用分类讨论的思想，当CG＜

1

2

BC时，当CG=

1

2

BC时，当CG＞

1

2

BC时分别得出即可．

解答：解：
（1）∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，
∵∠H+∠HAC=45°，∠HAC+∠CAG=45°，
∴∠H=∠CAG，
∵∠ACG=∠B=45°，
∴△AGC∽△HAB，
∴同理可得出：△AGC∽△HGA，
∴始终与△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；
故答案为：△HAB和△HGA．

（2）∵△AGC∽△HAB，
∴AC：HB=GC：AB，即9：y=x：9，
∴y=

81

x

，
∵AB=AC=9，∠BAC=90°，
∴BC=

AB2+AC2

=

92+92

=9

2

．
答：y关于x的函数关系式为y=

81

x

（0＜x＜9

2

）；

（3）①当CG＜

1

2

BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，
∴AC＜CH，
∵AG＜AC，
∴AG＜CH＜GH，
又∵AH＞AG，AH＞GH，
此时，△AGH不可能是等腰三角形，
②当CG=

1

2

BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形，
此时，GC=

9 2

2

，即x=

9 2

2

，
③当CG＞

1

2

BC时，由（1）△AGC∽△HGA，
∴，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在GH=AH，若GH=AH，则AC=CG，此时x=9，
如图3，当CG=BC时，
注意：DF才旋转到与BC垂直的位置，
此时B，E，G重合，∠AGH=∠GAH=45°，
∴△AGH为等腰三角形，所以CG=9

2

．
综上所述，当x=9或x=

9 2

2

或9

2

时，△AGH是等腰三角形．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强，难易程度适中，是一道很典型的题目．