Question

已知抛物线y=-

1

2

x2-(n+1)x-2n(n＜0)经过点以点A（x₁，0）B（x₂，0），D（0，y₁），其中x₁＜x₂，△ABD的面积等于12．
（1）求这条抛物线的解析式及它的顶点坐标；
（2）如果点以C（2，y₂）在这条抛物线上，点P在y轴的正半轴上，且△BCP为等腰三角形，求直线PB的解析式．

Answer 1

分析：（1）可先根据抛物线的解析式表示出A、B的横坐标，可得出AB的长，然后根据△ABD的面积为12，可求出n的值．即可求出抛物线的解析式，进而可求出顶点坐标．
（2）本题可分三种情况：
①PB=PC，设出P点的坐标，可根据坐标系两点间的距离公式或通过直角三角形用勾股定理表示出PB和PC长，根据PB=PC的等量关系即可求出P点的坐标．
②当PB=BC，③当PC=BC同①．
求出P点坐标后即可求出直线PB的解析式．

解答：解：（1）根据题意，令y=0，整理，得
x²+2（n+1）x+4n=0（n＜0），
解得x₁=-2，x₂=-2n，
∴AB=|x₂-x₁|=2-2n，又OD=|y₁|=-2n．
∵S_△ABD=

1

2

AB•OD=12，
∴

1

2

（2-2n）（-2n）=12，
解得n=3（舍去），n=-2．
∴y=-

1

2

x²+x+4．
顶点坐标为（1，

9

2

）．

（2）∵点C（2，y₂）在这条抛物线上，D（0，4），
∴y₂=4，即C（2，4），
∴∠CDO=90°，
∴∠BOD=90°．
根据题意画出示意图
①如图1，设P₁（0，m₁），满足P₁B=P₁C，其中m₁＞0．由勾股定理得，
OB²+OP₁²=DP₁²+DC²，
即4²+m₁²=（4-m₁）²+2²，
解得m₁=

1

2

，
即P₁（0，

1

2

），符合题意，
直线P₁B的解析式为y=-

1

8

x+

1

2

．
②如图2，设P₂（0，m₂），满足P₂B=BC，其中m₂＞0．
由勾股定理得，
OB²+OP₂²=4²+2²，
即4²+m₂²=4²+2²，
解得m₂=-2（舍去），m²=2，
即P₂（0，2），符合题意，直线P₂B的解析式为y=-x+2．
③设P₃（0，m₃），满足P₃C=BC，其中m₃＞0，由勾股定理得，
DP₃²+CD²=4²+2²，
即（4-m₃）²+2²=4²+2²，
解得m₃=0（舍去），m₃=8，
即P₃（0，8）．
直线P₃B的解析式为y=-2x+8，
∵C（2，4）在P₃B上，
∴P₃不符合题意，舍去．
综上所述，直线PB的解析式为y=-

1

8

x+

1

2

，y=-x+2．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、等腰三角形的判定等知识点．
（2）中要根据等腰三角形的腰和底的不同分类讨论．