Question

【题目】如图，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

（1）求证：AM＝AD+MC；

（2）若AD＝4，求AM的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）5

【解析】

（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，易证△ADE≌△NCE，从而有AD=CN，只需证明AM=NM即可．

（2）设MC=x，则BM=4-x，由勾股定理与（1）的结论得出，解得x即可得出结果．

解：（1）证明：延长AE、BC交于点N，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE＝∠ENC，

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE＝∠MAE，

∴∠ENC＝∠MAE，

∴AM＝MN，

在△ADE和△NCE中，

∴△ADE≌△NCE（AAS），

∴AD＝NC，

∴AM＝MN＝NC+MC＝AD+MC；

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝AD＝4，∠B＝90°，

设MC＝x，则BM＝4﹣x，

解得：x＝1，

∴AM＝5．