Question

13．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AC上一点，点E是AB上一点，且∠BDC=∠EDA，连接BD，DE，CE，过点E作EF⊥BD交BD于N，交BC于F
（1）如图1，若∠DBC=15°，DE=4时，求线段EN的长；
（2）如图2，若点F与点C重合，求证：AD=DC；
（3）如图3，若点E是AB的中点，连接CN，求证：DN+NF=$\sqrt{2}$CN．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠ADE=∠BDC=75°，再证明∠AED=∠BEN=60°，在Rt△DEN中利用30度性质即可解决问题．
（2）如图2中，作AM⊥AC交CE的延长线于M．只要证明△ACM≌△CBD，△AED≌△AEM即可解决问题．
（3）如图3中，连接CN、DF．首先证明△ADE≌△BFE推出AD=BF，CD=CF，将△CFN逆时针旋转90°得到△CDG，只要证明G、D、N共线，△GCN是等腰直角三角形，
即可解决问题．

解答 （1）解：如图1中，

∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵∠DBC=15°，
∴∠BDC=∠ADE=75°，
∵EF⊥BD，
∴∠FNB=90°，∠BFN=75°，
∴∠AED=180°-∠A-∠ADE=60°，∠FEB=180°-∠EBF-∠EFB=60°，
∴∠DEF=180°-∠AED-∠FEB=60°，
∴∠DEN=∠BEN=60°，
∵∠DNE=90°，∠EDN=30°，DE=4，
∴EN=$\frac{1}{2}$DE=2．

（2）证明：如图2中，作AM⊥AC交CE的延长线于M．

∵∠ACM+∠BCN=80°，∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ACN=∠DBC，
在△ACM和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠DCB}\\{AC=BC}\\{∠ACM=∠DBC}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△CBD，
∴AM=CD，∠M=∠BDC=∠ADE，
∵∠CAM=90°，∠CAB=45°，
∴∠EAD=∠EAM=45°，
在△EAD和△EAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠EAM}\\{∠ADE=∠M}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△AEM，
∴AD=AM，
∴AD=CD．

（3）证明：如图3中，连接CN、DF．

∵∠EFB+∠FBN=90°，∠FBN+∠BDC=90°，
∴∠EFB=∠BDC=∠ADE，
在△ADE和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠EBF}\\{∠ADE=∠EFB}\\{AE=EB}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BFE，
∴AD=BF，
∵AC=CB，
∴CD=CF，将△CFN逆时针旋转90°得到△CDG，
∵∠DCF+∠DNF=180°，
∴∠CDN+∠CFN=180°，
∵∠CFN=∠CDG，
∴∠CDN+∠CDG=180°，
∴G、D、N共线，
∴DN+FN=GN+DG=NG，
∵∠FCN=∠DCG，CN=CG，
∴∠GCN=∠ACB=90°，
∴△GCN是等腰直角三角形，
∴NG=$\sqrt{2}$CD，
∴DN+NF=$\sqrt{2}$CD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质．等腰直角三角形的性质、直角三角形30度角性质等知识，具体的是关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．