Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD是△ABC斜边BC上的高，E是AD上一点，连接EC，过点E作EF⊥EC交射线BA于点F.AC、EF交于点G，△ECG与△AFG的面积差为1，则线段AE=___.

Answer 1

【答案】

【解析】

在DC上截取BD=ED，连接EM，根据等腰直角三角形的性质得到AD=CD，∠DEM=∠EMD=45°，AE=CM，求得∠EMC=135°，得到∠EAF=∠EMC=135°，证得∠AEF=∠MCE，从而推出△EAF≌△CME，可得FE=CE．连接FC，设DM=x，AD=a，通过勾股定理用DM表示AE、AF、AC、FC的长度， 再根据△ECG与△AFG的面积差为1列等式解方程求出DM的长度，即可求出AE的长度．

解：如下图所示：

在DC上截取BD=ED，连接EM，FC，设DM=x，

∵AD是等腰直角△ABC斜边BC的高，

∴AD=CD，∠ADC=90°，

∴∠DEM=∠EMD=45°，AE=CM，

∴∠EMC=180°－∠EMD =180°－45°=135°，∠EAF=∠EAC+∠FAC=45°+90°=135°，

∴∠EAF=∠EMC=135°．

∵ EF⊥EC，

∴∠FEC=90°，∠AEF+∠DEC=90°，

∵∠MEC+∠DEC=90°，

∴∠AEF=∠MCE，

在△EAF和△CME中，

，

∴△EAF≌△CME（ASA），

∴EF=CE，AF=ME．

∵设AD=DC=a，

∴AE= a－x，ED=DM=x，EF=CE = ，AC=a，AF=ME=，FC=．

∵，

∴，

即，

，

，

解得：，（不符合题意，舍去），

∴ED=，

∴AE=．

故答案为：．