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    【题目】如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ= ____________．

    【答案】75°．

    【解析】作辅助线连接OD，根据题意求出∠POQ和∠AOD的，利用平行关系求出∠AOP度数，即可求出∠AOQ的度数．

    解：连接OD，AR，


    ∵△PQR是⊙O的内接正三角形，
    ∴∠PRQ=60°，
    ∴∠POQ=2×∠PRQ=120°，
    ∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
    ∴△AOD为等腰直角三角形，
    ∴∠AOD=90°，
    ∵BC∥RQ，AD∥BC，
    ∴AD∥QR，
    ∴∠ARQ=∠DAR，
    ∴弧AQ=弧DR，
    ∵△PQR是等边三角形，
    ∴PQ=PR，
    ∴弧PQ=弧PR，
    ∴弧AP=弧PD，
    ∴∠AOP=∠AOD=45°，
    所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°．

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